Ponto médio de um segmento: fórmula, como calcular e exemplos
O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide em duas partes de mesma medida. No plano cartesiano, suas coordenadas são a média aritmética das coordenadas dos extremos: se o segmento vai de A(xA, yA) a B(xB, yB), o ponto médio M é dado por:
Ou seja, somamos as coordenadas horizontais dos extremos e dividimos por 2; depois, fazemos o mesmo com as coordenadas verticais. Por exemplo, para A(2, 3) e B(8, 11), o ponto médio é M(5, 7). A fórmula vale para quaisquer coordenadas reais: inteiras, decimais, fracionárias ou negativas.
O ponto médio é um dos primeiros conteúdos da geometria analítica, junto com a distância entre dois pontos. Ele também permite encontrar um extremo desconhecido, a mediana de um triângulo e o quarto vértice de um paralelogramo.
Resumo: fórmulas do ponto médio
| O que se quer | Como calcular |
|---|---|
| Ponto médio M de A e B | xM = (xA + xB) ÷ 2 e yM = (yA + yB) ÷ 2 |
| Extremo B, conhecendo A e M | xB = 2xM − xA e yB = 2yM − yA |
| Quarto vértice D do paralelogramo ABCD | xD = xA + xC − xB e yD = yA + yC − yB |
| Baricentro G do triângulo ABC | xG = (xA + xB + xC) ÷ 3 e yG = (yA + yB + yC) ÷ 3 |
Neste conteúdo você encontra:
- De onde vem a fórmula do ponto médio
- Como calcular o ponto médio: exemplos
- Como encontrar um extremo a partir do ponto médio
- Ponto médio em triângulos e paralelogramos
- Do ponto médio ao baricentro
- Exercícios sobre ponto médio
- Perguntas frequentes
De onde vem a fórmula do ponto médio
Quando os extremos caem em vértices do quadriculado, conseguimos para achar o meio contando quadradinhos. Mas, se A(2, 1) e B(3, 4), o meio não cai em um vértice, e a contagem deixa de funcionar. A média das coordenadas resolve qualquer caso:
| Extremos | Contando no quadriculado | Média das coordenadas |
|---|---|---|
| A(0, 0) e B(4, 0) | anda-se 2 quadradinhos: (2, 0) | ((0 + 4) ÷ 2, (0 + 0) ÷ 2) = (2, 0) |
| A(1, 2) e B(5, 6) | 2 para a direita e 2 para cima: (3, 4) | ((1 + 5) ÷ 2, (2 + 6) ÷ 2) = (3, 4) |
| A(2, 1) e B(3, 4) | o meio não cai em vértice | ((2 + 3) ÷ 2, (1 + 4) ÷ 2) = (2,5; 2,5) |
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As retas que passam por A, M e B perpendicularmente ao eixo horizontal são paralelas. Como M divide o segmento AB em duas partes iguais, pelo teorema de Tales essas paralelas também dividem o trecho correspondente do eixo em duas partes iguais:
xM − xA = xB − xM
2xM = xA + xB
Repetindo o raciocínio no eixo vertical:
Por isso, cada coordenada do ponto médio é a média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos.
Como calcular o ponto médio: exemplos
Coordenadas inteiras
Para A(2, 3) e B(8, 11):
xM = (2 + 8) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
yM = (3 + 11) ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7
M(5, 7)
Coordenadas decimais: o poste do parque
Na planta de um parque, com posições em metros a partir do portão, dois postes estão em A(12,5; 7) e B(31; 22,4). A prefeitura quer instalar um terceiro poste exatamente a meio caminho:
xM = (12,5 + 31) ÷ 2 = 43,5 ÷ 2 = 21,75
yM = (7 + 22,4) ÷ 2 = 29,4 ÷ 2 = 14,7
M(21,75; 14,7)
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Quando as coordenadas são decimais, usa-se ponto e vírgula para separá-las, como em M(21,75; 14,7), para não confundir com a vírgula decimal.
Coordenadas fracionárias
Para A(1/2, 3) e B(7/2, 4):
xM = (1/2 + 7/2) ÷ 2 = (8/2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
yM = (3 + 4) ÷ 2 = 7/2 = 3,5
M(2; 3,5), ou M(2, 7/2)
Coordenadas negativas
Para A(−5, 4) e B(3, −10), os sinais precisam aparecer em cada soma:
xM = (−5 + 3) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1
yM = (4 + (−10)) ÷ 2 = −6 ÷ 2 = −3
M(−1, −3)
O ponto médio caiu em um quadrante diferente dos dois extremos, o que é normal: sua posição depende só das médias.
Casos especiais
- Extremos inteiros, ponto médio não inteiro: A(2, 1) e B(3, 4) têm ponto médio M(2,5; 2,5), porque a soma de dois inteiros pode ser ímpar.
- Segmento paralelo a um eixo: não há regra separada. Para A(−2, 5) e B(6, 5), M = (2, 5); a coordenada vertical fica 5, porque a média de 5 com 5 é 5.
- Extremos coincidentes: se A e B são o mesmo ponto, o segmento se reduz a esse ponto, que também é seu ponto médio.
Como encontrar um extremo a partir do ponto médio
Se conhecemos um extremo A e o ponto médio M, podemos achar o outro extremo B lendo a mesma fórmula no sentido inverso:
2xM = xA + xB
xB = 2xM − xA
yB = 2yM − yA
Ou seja, dobramos cada coordenada do ponto médio e subtraímos a coordenada correspondente do extremo conhecido. O ponto B obtido é o simétrico de A em relação a M.
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Exemplos
A(1, 4) e M(5, 6):
xB = 2 · 5 − 1 = 9
yB = 2 · 6 − 4 = 8
B(9, 8). Verificação: ((1 + 9) ÷ 2, (4 + 8) ÷ 2) = (5, 6).
A(−2, 7) e M(3, −1):
xB = 2 · 3 − (−2) = 6 + 2 = 8
yB = 2 · (−1) − 7 = −2 − 7 = −9
B(8, −9)
A(0,5; −1,5) e M(2; 0,25):
xB = 2 · 2 − 0,5 = 3,5
yB = 2 · 0,25 − (−1,5) = 0,5 + 1,5 = 2
B(3,5; 2)
Como verificar se um ponto é o ponto médio
Para saber se P(3, 5) é o ponto médio de A(0, 2) e B(6, 10), calcule M: ((0 + 6) ÷ 2, (2 + 10) ÷ 2) = (3, 6). Como P(3, 5) é diferente de M(3, 6), P não é o ponto médio. Acertar só uma coordenada não basta.
Ponto médio em triângulos e paralelogramos
Mediana de um triângulo
A mediana de um triângulo relativa a um lado é o segmento que liga o vértice oposto ao ponto médio desse lado. No triângulo de vértices A(1, 1), B(7, 3) e C(3, 9), o ponto médio de BC é:
xM = (7 + 3) ÷ 2 = 5
yM = (3 + 9) ÷ 2 = 6
M(5, 6). A mediana relativa ao lado BC é o segmento AM.
Para medir a mediana, usamos a fórmula da distância entre dois pontos: dAM = √[(5 − 1)2 + (6 − 1)2] = √(16 + 25) = √41 ≈ 6,40 unidades de comprimento.
Não confunda mediana com mediatriz: a mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele.
Quarto vértice de um paralelogramo
As diagonais de um paralelogramo se cortam no ponto médio de cada uma. Por isso, conhecendo três vértices, achamos o quarto. No paralelogramo ABCD, com A(1, 1), B(5, 2) e C(6, 5), nessa ordem, as diagonais são AC e BD. O ponto médio de AC é:
xM = (1 + 6) ÷ 2 = 3,5
yM = (1 + 5) ÷ 2 = 3
M(3,5; 3)
Como M também é o ponto médio de BD, usamos a relação inversa com B(5, 2):
xD = 2 · 3,5 − 5 = 2
yD = 2 · 3 − 2 = 4
D(2, 4)
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Um atalho: xD = xA + xC − xB = 1 + 6 − 5 = 2 e yD = yA + yC − yB = 1 + 5 − 2 = 4. Atenção à ordem dos vértices: em ABCD, AC e BD são diagonais, e AB e CD são lados. Trocar esses pares leva a um vértice errado.
Do ponto médio ao baricentro
Se a média de dois pontos dá o ponto médio, a média das coordenadas dos três vértices de um triângulo dá o baricentro, o ponto onde as três medianas se encontram:
No triângulo A(1, 1), B(7, 3) e C(3, 9):
xG = (1 + 7 + 3) ÷ 3 = 11/3 ≈ 3,67
yG = (1 + 3 + 9) ÷ 3 = 13/3 ≈ 4,33
G(11/3, 13/3)
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O baricentro G está sobre a mediana AM, mas não coincide com o ponto médio M de BC: são pontos diferentes, com papéis diferentes no triângulo.
Exercícios sobre ponto médio
Resolva as questões e confira o gabarito explicado de cada alternativa.
Questão 1
Sejam A(−4, 1) e B(6, −7) os extremos de um segmento. Qual é o ponto médio M?
a) M(5, −4)
b) M(2, −6)
c) M(−1, 3)
d) M(1, −3)
e) M(1, 3)
A alternativa correta é a d: x = (−4 + 6) ÷ 2 = 1 e y = (1 + (−7)) ÷ 2 = −3.
A alternativa a falha porque subtrai as coordenadas, (6 − (−4)) ÷ 2 e (−7 − 1) ÷ 2, em vez de somá-las. A alternativa b falha porque soma as coordenadas, mas esquece de dividir por 2. A alternativa c falha porque troca os sinais das duas coordenadas do resultado. A alternativa e falha porque erra o sinal da coordenada vertical: 1 + (−7) = −6, e −6 ÷ 2 = −3.
Questão 2
Sejam A(3, −2) um extremo e M(−1, 4) o ponto médio do segmento AB. Quais são as coordenadas de B?
a) B(−5, 10)
b) B(1, 1)
c) B(−4, 6)
d) B(7, −8)
e) B(−5, 6)
A alternativa correta é a a: x = 2 · (−1) − 3 = −5 e y = 2 · 4 − (−2) = 10.
A alternativa b falha porque calcula o ponto médio entre A e M, em vez do outro extremo. A alternativa c falha porque subtrai A de M sem dobrar as coordenadas de M. A alternativa d falha porque dobra as coordenadas de A e subtrai as de M, invertendo a operação. A alternativa e falha porque erra o sinal ao subtrair −2: 8 − (−2) = 10.
Questão 3
Os vértices A(2, 1), B(8, 3) e C(6, 9) pertencem ao paralelogramo ABCD, nessa ordem. Quais são as coordenadas de D?
a) D(12, 11)
b) D(4, 5)
c) D(0, 7)
d) D(16, 13)
e) D(4, −5)
A alternativa correta é a c: o ponto médio de AC é (4, 5); então D = (2 · 4 − 8, 2 · 5 − 3) = (0, 7).
A alternativa a falha porque usa B + C − A, tratando AB como diagonal. A alternativa b falha porque dá apenas o ponto médio da diagonal AC. A alternativa d falha porque soma os três vértices conhecidos sem subtrair B. A alternativa e falha porque usa B + A − C, o que corresponde a outra ordem dos vértices.
Questão 4
Em um segmento, A(−3, 5) é um extremo e M(1, −2) é o ponto médio. Quais são as coordenadas do outro extremo B?
a) B(−1; 1,5)
b) B(5, 1)
c) B(4, −7)
d) B(−7, 12)
e) B(5, −9)
A alternativa correta é a e: x = 2 · 1 − (−3) = 5 e y = 2 · (−2) − 5 = −9.
A alternativa a falha porque calcula o ponto médio entre A e M, em vez de determinar o extremo. A alternativa b falha porque acerta a coordenada horizontal, mas erra a vertical ao tratar 5 como negativo. A alternativa c falha porque subtrai as coordenadas em vez de dobrar as de M. A alternativa d falha porque inverte a operação, dobrando as coordenadas de A e subtraindo as de M.
Questão 5
Os extremos de um diâmetro de uma circunferência são A(−1, 2) e B(5, 8). Qual é o centro da circunferência?
a) (3, 3)
b) (2, 5)
c) (4, 10)
d) (3, 5)
e) (6, 6)
A alternativa correta é a b: o centro é o ponto médio do diâmetro: ((−1 + 5) ÷ 2, (2 + 8) ÷ 2) = (2, 5).
A alternativa a falha porque subtrai as coordenadas, (5 − (−1)) ÷ 2 e (8 − 2) ÷ 2, em vez de somá-las. A alternativa c falha porque soma as coordenadas, mas esquece de dividir por 2. A alternativa d falha porque erra o sinal de −1 ao somar: −1 + 5 = 4, e 4 ÷ 2 = 2. A alternativa e falha porque calcula a diferença entre as coordenadas dos extremos, sem dividir.
Quer treinar mais? Resolva os exercícios sobre ponto médio de um segmento de reta, com gabarito explicado.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do ponto médio?
M = ((xA + xB) ÷ 2, (yA + yB) ÷ 2): cada coordenada do ponto médio é a média das coordenadas correspondentes dos extremos.
Como calcular o ponto médio de um segmento?
Some as coordenadas horizontais dos extremos e divida por 2; depois, some as coordenadas verticais e divida por 2.
Como achar um extremo conhecendo o ponto médio?
Use xB = 2xM − xA e yB = 2yM − yA: dobre as coordenadas do ponto médio e subtraia as do extremo conhecido.
Um segmento pode ter dois pontos médios?
Não. Cada coordenada do ponto médio é dada por uma única média, então há um único ponto no meio do segmento.
Qual a diferença entre ponto médio e baricentro?
O ponto médio é a média de dois pontos e fica no meio de um segmento; o baricentro é a média dos três vértices de um triângulo e fica no encontro das medianas.
O ponto médio de AB é o mesmo de BA?
Sim. Pela propriedade comutativa da adição, a soma das coordenadas não muda com a ordem dos extremos.
Referências Bibliográficas
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 6. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 7.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no plano. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013. (Coleção do Professor de Matemática).
ASTH, Rafael. Ponto médio de um segmento: fórmula, como calcular e exemplos. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/ponto-medio-de-um-segmento-formula-como-calcular-e-exemplos/. Acesso em:
