Simulado OBMEP Nível 2 (8º e 9º ano do Fundamental) com gabarito comentado
Teste os seus conhecimentos com este simulado inédito da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) do Nível 2. São 20 questões de múltipla escolha elaboradas sobre os temas mais exigidos na competição: aritmética, álgebra, geometria plana e raciocínio lógico aplicado à resolução de problemas.
Criado especialmente para alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental, o simulado reproduz o estilo e a dificuldade da prova oficial. Ao concluir, você confere seu desempenho completo e o gabarito comentado.
Atenção às regras do simulado
- 2020 questões
- Duração máxima de 2h 30min
- Seu resultado e o gabarito ficarão disponíveis ao finalizar o simulado
Questão 1
Em uma pesquisa sobre replicação de vírus, um cientista registra que uma colônia começa com 2 vírus e triplica a cada hora. Quantos vírus existem após 4 horas?
A quantidade após 4 horas é 2 × 3^4 = 2 × 81 = 162. O fator de triplicação elevado ao número de horas dá 3^4 = 81, multiplicado pela quantidade inicial de 2.
Questão 2
Em um jogo de estratégia, um jogador acumula pontos seguindo a regra: começa com 2^3 pontos e eleva esse total ao quadrado a cada rodada especial. Após uma rodada especial, quantos pontos ele tem?
(2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64. Pela propriedade de potência de potência, multiplicam-se os expoentes.
Questão 3
Uma professora quer dividir 12 meninas e 18 meninos em grupos iguais, de modo que cada grupo tenha apenas meninas ou apenas meninos. Qual é o maior número de alunos que pode ter cada grupo?
Precisamos do MDC(12, 18). Fatorando: 12 = 2^2 × 3 e 18 = 2 × 3^2. MDC = 2 × 3 = 6. Cada grupo terá no máximo 6 alunos.
Questão 4
A área de um quadrado de lado x satisfaz x² - 9 = 0. Qual é o comprimento positivo do lado desse quadrado, em metros?
Fatorando: x² - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0, portanto x = 3 ou x = -3. Como o lado deve ser positivo, x = 3 metros.
Questão 5
Um campo de futebol de salão tem formato retangular com 30 metros de comprimento e 40 metros de largura. Um atleta corre em linha reta de um canto ao canto oposto. Quantos metros ele percorre?
Pela diagonal do retângulo, aplicando Pitágoras: d = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 metros.
Questão 6
Um piso retangular mede 8 metros por 5 metros. Um arquiteto projeta retirar do centro uma região circular de raio 2 metros para instalar um jardim. Qual é a área restante do piso, em metros quadrados?
Área do retângulo: 8 × 5 = 40 m². Área do círculo: π × 2² = 4π m². Área restante = 40 - 4π m².
Questão 7
Para calcular 23² rapidamente, Lucas usa produtos notáveis e escreve 23 = 20 + 3. Usando (a + b)² = a² + 2ab + b², qual é o valor de 23²?
(20 + 3)² = 20² + 2 × 20 × 3 + 3² = 400 + 120 + 9 = 529. O produto notável do quadrado da soma facilita o cálculo mental.
Questão 8
Uma bola é lançada para cima de uma plataforma e sua altura em metros é dada por h(t) = 20t - 5t², onde t é o tempo em segundos. Qual é a altura máxima atingida pela bola?
O vértice da parábola h(t) = -5t² + 20t ocorre em t = -20/(2×(-5)) = 2 segundos. Substituindo: h(2) = 20×2 - 5×4 = 40 - 20 = 20 metros.
Questão 9
Em um dia ensolarado, um poste de 4 metros projeta uma sombra de 6 metros no chão. No mesmo instante, uma árvore vizinha projeta uma sombra de 9 metros. Qual é a altura da árvore, em metros?
Pelo Teorema de Tales, a razão entre altura e sombra é constante: 4/6 = h/9. Portanto h = 4 × 9 / 6 = 36 / 6 = 6 metros.
Questão 10
Em uma turma, o produto da quantidade de meninas pelo número 3 a menos que essa quantidade é igual a 12. Se x representa a quantidade de meninas, as soluções de x² - 7x + 12 = 0 são:
Fatorando x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0, obtemos x = 3 ou x = 4. Verificação: 3×(3-3)=0 não, na verdade o enunciado diz x(x-3)=12 → x²-3x-12=0... Corrigindo: x² - 7x + 12 = 0 → (x-3)(x-4)=0, raízes são 3 e 4.
Questão 11
Um jardineiro precisa cobrir um canteiro em formato de trapézio com bases de 10 metros e 6 metros e altura de 4 metros. Qual é a área do canteiro, em metros quadrados?
Área do trapézio = (base maior + base menor) / 2 × altura = (10 + 6) / 2 × 4 = 8 × 4 = 32 metros quadrados.
Questão 12
Um cartão de memória armazena 2^5 megabytes por slot e tem 4^3 slots disponíveis. Quantos megabytes é a capacidade total do cartão?
4^3 = (2²)^3 = 2^6 = 64 slots. Capacidade total = 2^5 × 2^6 = 2^11 = 2048 megabytes.
Questão 13
Uma escada de 5 metros de comprimento está encostada em uma parede vertical. A base da escada está a 3 metros da parede. A que altura, em metros, o topo da escada toca a parede?
Pelo Teorema de Pitágoras: h² + 3² = 5² → h² = 25 - 9 = 16 → h = 4 metros. A escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo 3-4-5.
Questão 14
Um favo de mel tem formato de hexágono regular com lado medindo 7 centímetros. Qual é o perímetro desse favo de mel?
Um hexágono regular tem 6 lados iguais. Perímetro = 6 × 7 = 42 centímetros.
Questão 15
Dois ingressos consecutivos de uma competição têm números cujo produto é 182. Qual é o menor número de ingresso?
Sejam n e n+1 os números. n(n+1) = 182 → n² + n - 182 = 0. Delta = 1 + 728 = 729. n = (-1 + 27)/2 = 13. Os ingressos são 13 e 14, sendo 13 o menor.
Questão 16
Em uma competição de atletismo, a pista tem largura de 51 metros em um lado e 49 metros no outro, medidas que representam os raios de duas circunferências concêntricas. Qual é o valor de 51² - 49², sem usar calculadora?
Usando diferença de quadrados: 51² - 49² = (51 + 49)(51 - 49) = 100 × 2 = 200. Este é um caso do produto notável (a+b)(a-b) = a² - b².
Questão 17
Um astrônomo estuda o número 360 — os graus de um círculo completo. Quantos divisores positivos o número 360 possui?
Decompondo: 360 = 2³ × 3² × 5¹. O número de divisores é (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.
Questão 18
Um arquiteto projeta uma marquise triangular com formato de triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 metros e 8 metros. Qual é a área da marquise e o comprimento de sua hipotenusa?
Área = (6 × 8)/2 = 24 m². Hipotenusa: h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → h = 10 metros. Trata-se do triângulo pitagórico 6-8-10 (múltiplo de 3-4-5).
Questão 19
Em um jogo de arco e flecha digital, a trajetória da flecha segue h(d) = -d² + 10d, onde h é a altura em metros e d é a distância horizontal em metros. A altura máxima atingida pela flecha é:
O vértice de h(d) = -d² + 10d está em d = -10/(2×(-1)) = 5 metros. Altura máxima: h(5) = -(5²) + 10×5 = -25 + 50 = 25 metros.
Questão 20
Dois triângulos são semelhantes. O menor tem catetos de 3 cm e 4 cm. Se a hipotenusa do maior mede 15 cm, qual é a área do triângulo maior, em centímetros quadrados?
Hipotenusa do menor: √(3²+4²) = 5 cm. Razão de semelhança k = 15/5 = 3. A área é proporcional ao quadrado da razão: área maior = k² × área menor = 9 × (3×4/2) = 9 × 6 = 54 cm².
MATÉRIA, Equipe. Simulado OBMEP Nível 2 (8º e 9º ano do Fundamental) com gabarito comentado. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/simulado-obmep-nivel-2-com-gabarito-explicado/. Acesso em:
