Simulado OBMEP Nível 2 (8º e 9º ano) com gabarito explicado
Pratique para a OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) com este simulado inédito de Nível 2. São 20 questões de múltipla escolha que cobrem os principais temas cobrados, como: aritmética, álgebra, geometria plana e resolução de problemas.
O simulado foi pensado para estudantes do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental que querem testar seus conhecimentos em condições próximas às da prova real.
Ao finalizar, você tem acesso ao resultado completo e ao gabarito. Use o tempo como desafio: a prova real tem duração de 2h30min. Bons estudos e boa sorte na OBMEP!
Atenção às regras do simulado
- 2020 questões
- Duração máxima de 2h 30min
- Seu resultado e o gabarito ficarão disponíveis ao finalizar o simulado
Questão 1
Qual é o resto da divisão de 2^10 por 3?
2^10 = 1024. Dividindo por 3: 1024 = 341×3 + 1. Pelo padrão: 2^1≡2, 2^2≡1 (mod 3), e os expoentes pares sempre dão resto 1. Logo 2^10 ≡ 1 (mod 3).
Questão 2
Três turmas têm, respectivamente, 12, 18 e 24 alunos. A professora quer dividir cada turma em grupos iguais do maior tamanho possível, de modo que todas as turmas tenham grupos do mesmo tamanho. Qual é esse tamanho?
Queremos o MDC(12, 18, 24). 12 = 2²×3, 18 = 2×3², 24 = 2³×3. MDC = 2¹×3¹ = 6. Grupos de 6 alunos: 12/6=2, 18/6=3, 24/6=4 grupos.
Questão 3
Expandindo (a + 7)², obtém-se a² + k·a + 49. Qual é o valor de k?
(a+7)² = a² + 2·7·a + 7² = a² + 14a + 49. Logo k = 14.
Questão 4
Uma quadra retangular tem 15 metros de comprimento e 8 metros de largura. Uma equipe vai pintar o piso inteiro com tinta especial. Qual é a área total a ser pintada?
Área do retângulo = comprimento × largura = 15 × 8 = 120 m².
Questão 5
Um aluno quer cortar caminho em um terreno retangular indo de um canto ao canto oposto em diagonal. O terreno tem 6 metros de largura e 8 metros de comprimento. Qual é o comprimento da diagonal?
Pelo Teorema de Pitágoras: d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, logo d = 10 m.
Questão 6
Calcule o valor de 5¹ + 5² + 5³.
5¹ = 5, 5² = 25, 5³ = 125. Somando: 5 + 25 + 125 = 155.
Questão 7
Usando produtos notáveis, qual das expressões abaixo é equivalente a x² − 25?
x² − 25 = x² − 5² é uma diferença de quadrados: (x − 5)(x + 5). As demais opções produzem expressões diferentes ao expandir.
Questão 8
As raízes da equação x² − 5x + 6 = 0 são dois números inteiros positivos. Qual é o produto dessas raízes?
Fatorando: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, logo x = 2 ou x = 3. Pelo Produto de Vieta, o produto das raízes é c/a = 6/1 = 6.
Questão 9
Em um triângulo, uma reta paralela à base divide os lados de modo que o segmento menor mede 4 cm e o maior mede 6 cm. Se a base mede 30 cm, qual é o comprimento do segmento paralelo à base?
Pelo Teorema de Tales, o segmento paralelo é proporcional à base. A razão entre o segmento menor e o total do lado é 4/(4+6) = 4/10 = 2/5. Logo, segmento paralelo = (2/5) × 30 = 12 cm.
Questão 10
Fatorando a expressão 6x² + 9x, encontra-se que ela tem dois zeros (valores de x para os quais a expressão vale 0). Qual é a soma desses dois zeros?
6x² + 9x = 3x(2x + 3) = 0. Logo x = 0 ou 2x + 3 = 0, ou seja, x = −3/2. Soma dos zeros: 0 + (−3/2) = −3/2.
Questão 11
Um triângulo equilátero tem perímetro igual a 18 cm. Qual é a medida de cada lado?
Em um triângulo equilátero os três lados são iguais. Perímetro = 3 × lado, então lado = 18/3 = 6 cm.
Questão 12
Em uma gincana, um grupo duplica sua pontuação a cada rodada. Se o grupo começa com 2^a pontos e após uma rodada tem 2^a × 2^a = 2^12 pontos totais, qual é o valor de a?
2^a × 2^a = 2^(a+a) = 2^(2a) = 2^12. Logo 2a = 12, portanto a = 6.
Questão 13
Um canteiro de flores tem formato de trapézio com bases de 8 m e 14 m e altura de 5 m. Qual é a área do canteiro?
Área do trapézio = ((base maior + base menor) / 2) × altura = ((14 + 8) / 2) × 5 = 11 × 5 = 55 m².
Questão 14
O número de seguidores de um perfil é descrito por x² = 5x − 4, onde x representa semanas. Quantas semanas após o início o perfil atinge a solução positiva maior dessa equação?
Reescrevendo: x² − 5x + 4 = 0. Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/2. Logo x = 4 ou x = 1. A solução positiva maior é x = 4.
Questão 15
Sabe-se que (x + y)² = 49 e (x − y)² = 9. Usando produtos notáveis, qual é o valor de x · y?
(x+y)² − (x−y)² = 4xy. Portanto 49 − 9 = 40 = 4xy, logo xy = 10.
Questão 16
Um professor quer dividir 360 cartinhas entre grupos com o mesmo número de cartinhas cada, sem sobrar nenhuma. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso (considerando grupos de 1 a 360 pessoas)?
Equivale a contar os divisores de 360. 360 = 2³ × 3² × 5¹. Número de divisores = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24.
Questão 17
Um triângulo retângulo isósceles tem hipotenusa de 10√2 cm. Qual é a área desse triângulo?
Num triângulo retângulo isósceles os dois catetos são iguais. c² + c² = (10√2)², logo 2c² = 200, c = 10. Área = (c×c)/2 = 100/2 = 50 cm².
Questão 18
A soma dos quadrados de três inteiros positivos consecutivos é igual a 149. Qual é o maior desses três inteiros?
Sejam n−1, n, n+1 os três consecutivos. (n−1)² + n² + (n+1)² = 3n² + 2 = 149, logo n² = 49, n = 7. O maior é n+1 = 8.
Questão 19
A altura (em metros) de uma bola lançada é dada por h(t) = −t² + 6t − 5, onde t é o tempo em segundos. Em que instante a bola atinge a altura máxima, e qual é essa altura?
h(t) = −t² + 6t − 5 é uma parábola com a = −1 < 0 (concavidade para baixo). Vértice: t = −b/(2a) = −6/(−2) = 3 s. h(3) = −9 + 18 − 5 = 4 m.
Questão 20
Qual é o maior fator primo de 2^8 − 1?
2^8 − 1 = 256 − 1 = 255. Fatorando: 255 = 3 × 85 = 3 × 5 × 17. Os fatores primos são 3, 5 e 17. O maior é 17.
MATÉRIA, Equipe. Simulado OBMEP Nível 2 (8º e 9º ano) com gabarito explicado. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/simulado-obmep-nivel-2-com-gabarito/. Acesso em:
