Simulado OBMEP Nível 3 (Ensino Médio) com gabarito explicado

O termo geral de uma PA é a_n = a1 + (n-1)·r. Substituindo: a_20 = 3 + (20-1)·5 = 3 + 95 = 98. O distrator E=103 corresponde ao erro de usar n=20 em vez de (n-1)=19: 3 + 20×5 = 103.

Pela relação pitagórica: cos²x = 1 - sen²x = 1 - 9/25 = 16/25, portanto cos x = 4/5 (1º quadrante). Logo tan x = sen x / cos x = (3/5)/(4/5) = 3/4. O distrator D=4/3 é o erro de inverter a razão; C=4/5 é o próprio cos x.

BRASIL tem 6 letras todas distintas. O número de anagramas é 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. O distrator A=120=5! ocorre ao esquecer uma letra; B=360=6!/2 ocorre ao tratar erroneamente uma letra como repetida; E=5040=7! é um erro de contagem.

Há 13 cartas de ouros em 52 no total. P(ouros) = 13/52 = 1/4. O distrator B=1/13 confunde a probabilidade de uma carta específica dentro do naipe; C=1/52 é a probabilidade de uma única carta determinada.

Média = (4+7+10+13+16)/5 = 50/5 = 10. Os dados já estão em ordem crescente; como há 5 valores, a mediana é o 3º elemento = 10. Média e mediana coincidem porque a sequência é uma PA simétrica em torno de 10.

Os termos são 3, 7, 11, ..., a_10 = 3 + 9×4 = 39. Fórmula da soma: S_n = n·(a1 + a_n)/2 = 10·(3+39)/2 = 10·21 = 210. O distrator C=220 resulta de usar a1=4 (errar o primeiro termo); A=190 corresponde a usar razão 3 em vez de 4.

O cateto adjacente = √(13²-5²) = √(169-25) = √144 = 12. Logo sen A = 5/13 e cos A = 12/13. Usando a fórmula do ângulo duplo: sen(2A) = 2·sen A·cos A = 2·(5/13)·(12/13) = 120/169. O distrator B=5/13 é o próprio sen A; D=12/13 é o cos A.

O raio do círculo inscrito em um triângulo equilátero de lado a é r = a·√3/6. Para a=6: r = 6·√3/6 = √3. O distrator B=2√3 é o raio do círculo circunscrito (r_c = a·√3/3 = 6·√3/3 = 2√3), erro clássico de confundir as fórmulas.

Pelo complementar: total de comitês C(10,3) = 120. Comitês apenas com homens: C(5,3) = 10. Comitês com pelo menos 1 mulher = 120 - 10 = 110. O distrator A=120 esquece de excluir os comitês sem mulher; C=105 é C(15,2)/algo sem sentido matemático claro mas plausível como erro.

O espaço amostral tem 36 pares ordenados. Os pares cuja soma é 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 casos favoráveis. P = 6/36 = 1/6. O distrator D=7/36 é o erro de contar 7 pares (incluindo um par inexistente). A=1/12 corresponde a contar apenas 3 pares.

A diagonal principal de um cubo de aresta a é d = a√3. Portanto a = d/√3 = 6√3/√3 = 6. Volume = a³ = 6³ = 216. O distrator E=108 seria metade do volume correto; A=125=5³ e C=343=7³ surgem de arredondamentos incorretos da aresta.

A distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0 é d = |ax0+by0+c|/√(a²+b²). Reescrevendo: 3x+4y-15=0. d = |3·1+4·2-15|/√(9+16) = |3+8-15|/5 = |-4|/5 = 4/5. O distrator B=4 é o numerador sem dividir pelo denominador; D=8/5 usa |numerador×2|/5.

Média = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 40/8 = 5. Variância = [(2-5)²+(4-5)²+(4-5)²+(4-5)²+(5-5)²+(5-5)²+(7-5)²+(9-5)²]/8 = [9+1+1+1+0+0+4+16]/8 = 32/8 = 4. Desvio padrão = √4 = 2. O distrator D=4 é a variância, não o desvio padrão.

Seja k o número de médias inseridas. A PA resultante tem k+2 termos, com primeiro termo 5 e último 77. Soma = (k+2)·(5+77)/2 = (k+2)·41 = 984. Portanto k+2 = 984/41 = 24, logo k = 22. O distrator D=23 ocorre por erro de subtração ao final; B=21 por arredondar 984/41 para baixo.

sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2. Logo (sen 60° - cos 60°)² = ((√3-1)/2)² = (√3-1)²/4 = (3-2√3+1)/4 = (4-2√3)/4 = (2-√3)/2. Observe que C é a forma não simplificada da mesma expressão: (4-2√3)/4 = (2-√3)/2. A resposta oficial é D (forma mais simplificada). Distrator A=(2+√3)/2 surge de usar (sen A + cos A)²-1 incorretamente.

Volume do cone = (1/3)·π·r²·h = (1/3)·π·9·4 = (1/3)·36π = 12π. A geratriz mede √(3²+4²) = 5 (tripla pitagórica 3-4-5), mas não é usada no cálculo do volume. Distrator D=36π é o volume do cilindro de mesma base e altura (sem o fator 1/3); C=15π usa a geratriz no lugar da altura.

As raízes de x²-6x+8=0 são encontradas por fatoração: (x-2)(x-4)=0, logo x=2 e x=4. A distância entre os pontos (2,0) e (4,0) é |4-2|=2. Pela forma canônica: y=(x-3)²-1, vértice em (3,-1). O distrator B=4 confunde a abscissa de uma das raízes com a distância; C=6 usa o coeficiente do termo linear.

MATEMATICA tem 10 letras: M(×2), A(×3), T(×2), E(×1), I(×1), C(×1). Vogais: A, E, A, I, A → bloco de 5 vogais. Tratando o bloco como 1 unidade, temos 6 elementos (bloco+M+M+T+T+C). Arranjos externos: 6!/(2!·2!) = 720/4 = 180. Arranjos internos das vogais A,A,A,E,I: 5!/3! = 20. Total: 180×20 = 3600. Distrator D=7200 ocorre por não dividir por 2! de um dos grupos de consoantes repetidas.

P(cores diferentes) = P(VM seguida de AZ) + P(AZ seguida de VM) = (4/10)·(6/9) + (6/10)·(4/9) = 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15. Alternativamente: C(4,1)·C(6,1)/C(10,2) = 24/45 = 8/15. O distrator C=1/2 é uma estimativa intuitiva incorreta; A=4/15 é apenas uma das parcelas da probabilidade.

Verificação: 7²+24²=49+576=625=25² ✓ (tripla pitagórica). Área do triângulo = (7×24)/2 = 84. Semiperímetro: s = (7+24+25)/2 = 28. Raio do círculo inscrito: r = Área/s = 84/28 = 3. Outra forma: r = (a+b-c)/2 = (7+24-25)/2 = 6/2 = 3 (válida para triângulo retângulo). Distrator B=4 confunde o raio com a altura relativa à hipotenusa dividida por algo; C=6 usa (a+b-c) sem dividir por 2.