Simulado OBMEP Nível 3 (Ensino Médio) com gabarito comentado
Este simulado OBMEP Nível 3 foi feito para ajudar estudantes do Ensino Médio a se prepararem com mais confiança para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.
São 20 questões inéditas que cobrem os principais temas cobrados na prova. Ao finalizar o simulado, você tem acesso ao gabarito comentado com a resolução de cada questão e a explicação dos principais erros.
Atenção às regras do simulado
- 2020 questões
- Duração máxima de 2h 30min
- Seu resultado e o gabarito ficarão disponíveis ao finalizar o simulado
Questão 1
Numa progressão aritmética de 8 termos, o primeiro termo é 3 e a razão é 7. Qual é a soma dos 8 termos?
O último termo é a8 = 3 + 7×7 = 52. A soma de uma PA é Sn = n×(a1 + an)/2, portanto S8 = 8×(3 + 52)/2 = 8×55/2 = 220.
Questão 2
Num triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo α mede 6 cm e a hipotenusa mede 10 cm. Qual é o valor de sen(α)?
Por definição, sen(α) = cateto oposto / hipotenusa = 6/10 = 3/5. O cateto adjacente, pelo Teorema de Pitágoras, mede √(100 − 36) = 8 cm, confirmando que se trata de um triângulo 6-8-10 (múltiplo do 3-4-5).
Questão 3
Um trapézio tem bases medindo 10 cm e 14 cm e altura de 6 cm. Qual é a área do trapézio, em cm²?
A área do trapézio é A = (B + b) × h / 2 = (14 + 10) × 6 / 2 = 24 × 3 = 72 cm².
Questão 4
Uma estante tem 8 livros diferentes. De quantas maneiras é possível escolher 2 livros para leitura, se a ordem da escolha não importa?
Trata-se de uma combinação simples: C(8,2) = 8!/(2!×6!) = (8×7)/2 = 28.
Questão 5
Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja vermelha?
Total de bolas: 5 + 3 = 8. Casos favoráveis (vermelhas): 5. Portanto, P(vermelha) = 5/8.
Questão 6
A área total da superfície de um cubo é 150 cm². Qual é o volume desse cubo, em cm³?
A área total do cubo é 6a² = 150, logo a² = 25 e a = 5 cm. O volume é V = a³ = 5³ = 125 cm³.
Questão 7
A média aritmética de 6 números é 15. Quando um sétimo número é acrescentado ao conjunto, a média passa a ser 14. Qual é o valor do sétimo número?
A soma dos 6 números é 6×15 = 90. A soma dos 7 números é 7×14 = 98. O sétimo número é 98 − 90 = 8.
Questão 8
Uma progressão aritmética tem 15 termos. A soma dos termos de posição ímpar (1°, 3°, 5°, ..., 15°) é igual a 120. Qual é a soma de todos os 15 termos?
Os termos de posição ímpar formam 8 termos: a1, a3, ..., a15. Em qualquer PA, a soma a1+a3+...+a15 = 8×a8, pois cada par (a_k + a_{16-k}) = 2a8. Assim, 8×a8 = 120, logo a8 = 15. A soma total é S15 = 15×a8 = 15×15 = 225.
Questão 9
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm. Sendo α o ângulo oposto ao cateto de 5 cm, qual é o valor de tan(α)?
Pelo Teorema de Pitágoras, o cateto adjacente mede √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. Portanto, tan(α) = cateto oposto / cateto adjacente = 5/12.
Questão 10
A área de um triângulo equilátero é 9√3 cm². Qual é o perímetro desse triângulo, em cm?
A área do triângulo equilátero de lado l é A = l²√3/4. Igualando: l²√3/4 = 9√3, logo l² = 36 e l = 6 cm. O perímetro é 3×6 = 18 cm.
Questão 11
Quantos anagramas da palavra ESTUDO têm as vogais E, U, O nessa ordem (E antes de U antes de O), embora não necessariamente consecutivas?
A palavra ESTUDO tem 6 letras distintas (E, S, T, U, D, O), logo há 6! = 720 anagramas no total. As 3 vogais (E, U, O) aparecem em 3! = 6 ordens relativas distintas, e apenas uma delas corresponde à ordem E, U, O. Portanto, há 720/6 = 120 anagramas com as vogais nessa ordem.
Questão 12
Um dado não viciado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a 8?
O espaço amostral tem 6×6 = 36 resultados equiprováveis. Os pares (d1, d2) com soma 8 são: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — exatamente 5 casos. Portanto, P(soma=8) = 5/36.
Questão 13
Um cilindro reto tem raio da base igual a 6 cm e altura igual a 10 cm. Qual é a área da superfície lateral desse cilindro, em termos de π?
A área lateral do cilindro é A = 2π×r×h = 2π×6×10 = 120π cm².
Questão 14
A média aritmética de um conjunto de 9 números é 12. Quando o maior número é removido, a média dos restantes passa a ser 10. Qual é o maior número do conjunto?
A soma dos 9 números é 9×12 = 108. A soma dos 8 números restantes é 8×10 = 80. O maior número é 108 − 80 = 28.
Questão 15
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 3n² + 2n. Qual é o valor do 10° termo dessa progressão?
Para n ≥ 2, o n-ésimo termo é an = Sn − S(n−1) = (3n² + 2n) − (3(n−1)² + 2(n−1)) = 3n²+2n − 3n²+6n−3−2n+2 = 6n − 1. Portanto, a10 = 6×10 − 1 = 59. Verificação: S10 = 300+20 = 320 e S9 = 243+18 = 261, logo a10 = 320−261 = 59.
Questão 16
Num triângulo ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm e o ângulo A mede 60°. Qual é o comprimento de BC, em cm? (Use cos 60° = 1/2.)
Pela Lei dos Cossenos: BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(A) = 64 + 25 − 2×8×5×(1/2) = 89 − 40 = 49. Portanto, BC = √49 = 7 cm.
Questão 17
O quadrado ABCD tem diagonal AC com comprimento 8√2 cm. O ponto M é o ponto médio do lado BC. Qual é a área do triângulo AMC, em cm²?
A diagonal 8√2 implica lado l = 8 cm (pois diagonal = l√2). Posicionando A=(0,8), B=(8,8), C=(8,0), D=(0,0), o ponto M, médio de BC, fica em M=(8,4). A área do triângulo AMC com A=(0,8), M=(8,4), C=(8,0) é ½|x_A(y_M−y_C)+x_M(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_M)| = ½|0×4+8×(−8)+8×4| = ½|−64+32| = ½×32 = 16 cm².
Questão 18
Quatro casais vão sentar em uma fila de 8 cadeiras, de modo que cada casal fique necessariamente lado a lado. De quantas maneiras distintas isso pode ocorrer?
Tratando cada casal como uma única unidade, há 4 unidades a dispor em fila: 4! = 24 arranjos. Dentro de cada casal, os 2 integrantes podem trocar de posição de 2! = 2 maneiras. Como há 4 casais, o total de arranjos internos é 2⁴ = 16. Pelo Princípio Multiplicativo: 24×16 = 384.
Questão 19
Uma caixa contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?
Total de pares: C(10,2) = 45. Pares de vermelhas: C(4,2) = 6. Pares de azuis: C(6,2) = 15. Pares da mesma cor: 6+15 = 21. Probabilidade: 21/45 = 7/15.
Questão 20
Um cone reto tem raio da base igual a 3 cm e geratriz igual a 5 cm. Qual é o volume desse cone, em termos de π?
A altura do cone é h = √(g² − r²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm. O volume é V = (1/3)×π×r²×h = (1/3)×π×9×4 = 12π cm³.
MATÉRIA, Equipe. Simulado OBMEP Nível 3 (Ensino Médio) com gabarito comentado. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/simulado-obmep-nivel-3-ensino-medio-gabarito/. Acesso em:
