Bissetriz

Rosimar Gouveia

A bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, e que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida).

Na figura abaixo, a bissetriz, indicada por uma reta em vermelho, reparte o ângulo AÔB ao meio.

Assim, o ângulo AÔB fica dividido em dois outros ângulos, o AÔC e o BÔC, de mesmas medidas.

Bissetriz

Como encontrar a bissetriz?

Para encontrar a bissetriz, basta seguir os seguintes passos utilizando o compasso:

  1. abra um pouco o compasso e coloque a sua ponta seca no vértice do ângulo.
  2. faça um traço de circunferência sobre as semirretas OA e OB.
  3. com o compasso aberto, coloque a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OA e faça um traço de circunferência com o compasso virado para dentro do ângulo.
  4. faça o mesmo, agora com a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OB.
  5. trace uma semirreta do vértice do ângulo até o ponto de intersecção dos traços que acabou de fazer. A semirreta OC é a bissetriz.

Traçando a bissetriz com um compasso

Bissetriz dos ângulos de um triângulo

Os triângulos possuem ângulos internos e externos. Podemos traçar bissetrizes em cada um destes ângulos. O ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo é chamado de incentro.

O incentro está a uma mesma distância dos três lados do triângulo. Além disso, quando uma circunferência está inscrita em um triângulo, este ponto representa o centro da circunferência.

Incentro de um triângulo

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na imagem abaixo, a bissetriz do ângulo  divide o lado a em dois segmentos x e y.

Teorema da bissetriz interna

A partir do teorema da bissetriz interna, podemos escrever a seguinte proporção, considerando o triângulo ABC da imagem:

negrito x sobre negrito c negrito igual a negrito y sobre bold italic b

Exemplo

Encontre o valor de x indicado no triângulo da figura abaixo, sabendo que pilha A D com barra acima representa a bissetriz do ângulo A.

Exemplo teorema da bissetriz interna

Resolução

Como pilha A D com barra acima é a bissetriz interna do triângulo, então podemos aplicar o teorema. Sendo assim, temos a seguinte relação:

numerador B D sobre denominador A B fim da fração igual a numerador D C sobre denominador A C fim da fração

Substituindo os valores do problema, encontramos:

numerador 12 sobre denominador x mais 9 fim da fração igual a numerador 15 sobre denominador 2 x fim da fração 15 espaço parêntese esquerdo x mais 9 parêntese direito igual a 12.2 x 15 x mais 135 igual a 24 x 24 x menos 15 x igual a 135 9 x igual a 135 x igual a 135 sobre 9 x igual a 15

Teorema da Bissetriz Externa

Os ângulos externos de um triângulo são os ângulos adjacentes aos ângulos internos. Para encontrar esses ângulos, traçamos um prolongamento do lado adjacente.

Quando a bissetriz externa intercepta o prolongamento do lado oposto, formam segmentos proporcionais aos lados adjacentes, conforme figura abaixo:

Bissetriz externa

Considerando o triângulo ABC da figura, de acordo com o teorema da bissetriz externa, podemos escrever a seguinte proporção:

x sobre c igual a y sobre b

Sendo,

x = a + y

Exemplo

No triângulo representado na figura abaixo, encontre o valor de x, considerando que a reta AD é uma bissetriz externa deste triângulo.

Bissetriz externa exemplo

Solução

Sendo a reta AD uma bissetriz externa, podemos aplicar o teorema da bissetriz externa para encontrar o valor de x. Teremos então a seguinte proporção:

numerador 12 mais x sobre denominador 8 fim da fração igual a 12 sobre 6 numerador 12 mais x sobre denominador 8 fim da fração igual a 2 12 mais x igual a 2.8 x igual a 16 menos 12 x igual a 4

Leia também:

Exercícios de Vestibular

1. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.

A figura abaixo representa a situação proposta no problema:

Questão fuvest bissetriz

Considerando o teorema da bissetriz interna, podemos encontrar a medida de AM através da seguinte proporção:

numerador A M sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 5 menos A M sobre denominador 4 fim da fração 4 espaço A M igual a 10 menos 2 espaço A M 4 espaço A M mais 2 espaço A M igual a 10 6 espaço A M igual a 10 A M igual a 10 sobre 6 igual a 5 sobre 3

Agora que conhecemos a medida de AM, vamos descobrir a medida de AN. Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras, visto que a altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

Desta forma, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para os triângulos ACN e BCN e resolver o sistema:

abre chaves 4 ao quadrado igual a h ao quadrado mais parêntese esquerdo A N menos 5 parêntese direito ao quadrado 2 ao quadrado igual a h ao quadrado mais parêntese esquerdo A N parêntese direito ao quadrado fecha  menos abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 16 igual a riscado diagonal para cima sobre h ao quadrado fim do riscado mais parêntese esquerdo 5 menos A N parêntese direito ao quadrado end row row 4 igual a riscado diagonal para cima sobre h ao quadrado fim do riscado mais A N ao quadrado end row horizontal line row 12 igual a 25 menos 10 A N end row end stack fim da célula linha com blank fim da tabela fecha 10 A N igual a 25 menos 12 A N igual a 13 sobre 10

Podemos encontrar o valor da medida de MN, fazendo:

M N igual a A M menos A N M N igual a 5 sobre 3 menos 13 sobre 10 M N igual a 50 sobre 30 menos 39 sobre 30 M N igual a 11 sobre 30

O comprimento de MN é igual a 11/30.

2. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A onde AB = 21 e AC = 20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD?

a) 42/5
b) 21/20
c) 20/21
d) 9
e) 8

Vamos começar representando o triângulo:

Questão Puc bissetriz

Como o triângulo é retângulo, podemos encontrar a medida da hipotenusa BC aplicando o teorema de Pitágoras:

B D ao quadrado igual a 21 ao quadrado mais 20 ao quadrado B D ao quadrado igual a 441 mais 400 B D ao quadrado igual a 841 B D igual a raiz quadrada de 841 igual a 29

Agora que conhecemos todos os lados do triângulo, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna:

x sobre 21 igual a numerador 20 menos x sobre denominador 29 fim da fração 29 x igual a 420 menos 21 x 29 x mais 21 x igual a 420 50 x igual a 420 x igual a 42 sobre 5

Alternativa a: 42/5

Para mais exercícios, veja em:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.