Exercícios sobre diagonais de um polígono (com questões resolvidas)

Da geometria plana sabemos que o número de diagonais de um polígono convexo é dado por:

Pela nomenclatura o prefixo "pentadéca" significa 15, portanto o polígono possui 15 lados. Substituindo teremos:

As diagonais só passam pelo centro do polígono regular se este tiver uma quantidade par de lados. E esse número é igual a metade do número de lados.

Como no dodecágono temos:

O número de diagonais que partem de um dos vértices de um polígono de 17 lados é dado por diagonais, logo

O número de diagonais de um polígono é dado por:

Sabendo que o eneágono possui 9 lados temos:

Se o polígono é regular e possui ângulo externo medindo 20º temos:

Como temos um octadecágono então o número de diagonais será:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono vale:

Assim, o total de diagonais será:

Sabemos também que se é par, então a quantidade de diagonais que passam pelo centro do polígono é dado por .

Assim, as diagonais que não passam pelo centro são .

Dado o número de diagonais basta aplicar a fórmula das diagonais para obter o número de lados.

Portanto, a figura possui 27 lados.

Podemos usar diretamente a fórmula das diagonais, mas também podemos utilizar o raciocínio combinatório.

Como são 17 pontos e para formar um segmento devemos escolher 2 teremos:

Mas deste total 17 deles são lados, os que sobram são diagonais.