Exercícios sobre triângulo de Pascal e números binomiais (com respostas comentadas)
Os números binomiais e o triângulo de Pascal são ferramentas fundamentais da análise combinatória, essenciais para o desenvolvimento de potências e contagem de subconjuntos.
Nesta lista de exercícios, você vai explorar as propriedades de simetria, a relação de Stifel e os teoremas das linhas e colunas.
As questões contam com gabarito explicado, ajudando a compreender a aplicação prática de cada teorema no cálculo de somas e igualdades binomiais.
Questão 1
O valor da expressão
É igual:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
Aplicamaos a Relação de Stifel
Questão 2
A soma de todas as soluções da equação 
?
a) 7
b) 9
c) 14
d) 22
Dois números binomiais são iguais se:
Com 
e 
Então temos:
Como todas as soluções satisfazem a equação teremos:
Questão 3
Dado o polinômio 
, qual o valor de 
?
a) 512
b) 1024
c) 2048
d) 4096
Observe que os coeficientes do polinômio são exatamente a Linha 5 do triângulo de Pascal/Tartaglia (1, 5, 10, 10, 5, 1) com os sinais alternados. Logo podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:
Questão 4
Qual o coeficiente de 
no desenvolvimento de 
?
a) 
b) 
c) 
d) 
Para resolver esta questão podemos aplicar o termo geral para o binômio de Newton.
Logo para obtermos o coeficiente do termo em devemos ter:
Voltando ao termo geral
Cujo coeficiente é .
Questão 5
Dada a expressão
O valor de 
é igual a:
a) 28
b) 35
c) 56
d) 70
Pelo Teorema das Colunas temos:
Questão 6
Considere a soma do binomiais abaixo:
O valor de 
é igual a:
a) 21
b) 35
c) 56
d) 70
Pelo Teorema da Diagonal do Triângulo de Pascal temos:
Questão 7
Determine o valor de 
tal que 
.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
Observe que na soma faltam os 1º, 2° e o n-ésimo termos para completar toda a n-ésima linha do triângulo de Pascal.
Como queremos uma potência inteira de 2, deve ser igual a 
. pois 
Questão 8
Um professor de matemática deseja selecionar um grupo de alunos para uma monitoria a partir de uma turma de 10 voluntários.
Ele decidiu que o grupo poderá ser formado por exatamente 3 alunos ou por exatamente 4 alunos.
Nessas condições, o número total de maneiras distintas de se formar esse grupo é:
a) 120
b) 210
c) 330
d) 450
Observe que estamos querendo a soma de dois binomiais consecutivos da mesma linha, portanto pela Relação de Stifel:
Para praticar mais:
Exercícios sobre Binômio de Newton resolvidos
Exercícios de análise combinatória (resolvidos e explicados)
Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matematica: contexto e aplicacoes. 3. ed. Sao Paulo: Atica, 2016.
IEZZI, Gelson; HAZAN, Samuel. Fundamentos de matematica elementar, 5: combinatoria, probabilidade. 8. ed. Sao Paulo: Atual, 2013.
MORGADO, Augusto Cesar; CARVALHO, Joao Bosco Pitombeira de; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; FERNANDEZ, Pedro. Analise combinatoria e probabilidade. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
PAIVA, Manoel. Matematica: Paiva. 3. ed. Sao Paulo: Moderna, 2015.
CANELLAS, William. Exercícios sobre triângulo de Pascal e números binomiais (com respostas comentadas). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulo-de-pascal-e-numeros-binomiais-com-respostas-comentadas/. Acesso em:
