A trigonometria estuda as relações entre ângulos e lados de um triângulo. Para um triângulo retângulo definimos as razões: seno, cosseno e tangente.
Essas razões são muito úteis para resolver problemas onde precisamos descobrir um lado e conhecemos a medida de um ângulo, além do ângulo reto e um dos seus lados.
Portanto, aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.
Questão 1
A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?
Considere:
sen 40º = 0,64
cos 40º = 0,77
tg 40º = 0,84
Resposta correta: 5 120 m de altura.
Vamos começar o exercício representando na figura a altura do avião. Para isso, basta desenhar uma reta perpendicular à superfície e que passa pelo ponto onde o avião se encontra.
Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado.
Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:
De uma tabela trigonométrica encontramos que sen 40° é aproximadamente 0,64.
Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.
Questão 2
Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.
Considere:
sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43
Resposta correta: largura de 0,57 m ou 57 cm.
Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.
O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).
Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:
A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa.
Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado.
Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor:
Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:
largura da casa = 2. 0,285 = 0,57
Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.
Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.
Considere:
sen 20º = 0,34
cos 20º = 0,93
tg 20º = 0,36
Resposta correta: 181,3 m.
Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo:
Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente.
Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).
Assim, teremos:
Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos:
h = 180 + 1,3 =181,3
Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.
Questão 4
Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
Resposta correta: 21,86 m.
No desenho, ao efetuarmos a projeção do ponto B no prédio que Pedro está observando, dando a ele o nome de D, criamos o triângulo isósceles DBC.
O triângulo isósceles possui dois lados iguais e, portanto, DB = DC = 8 m.
Os ângulos DCB e DBC possuem o mesmo valor, que é 45º. Observando o triângulo maior, formado pelos vértices ABD encontramos o ângulo de 60º, pois subtraímos o ângulo de ABC pelo ângulo de DBC.
ABD = 105º - 45º = 60º.
Sendo assim, o ângulo DAB é de 30º, já que a soma dos ângulos internos deve ser 180º.
DAB = 180º - 90º - 60º = 30º.
Utilizando a função tangente, , encontramos a medida do lado AD, que corresponde ao cateto adjacente do triângulo ABD. O cateto oposto possui o valor de 8m.
De uma tabela trigonométrica tiramos o valor aproximado para tg 30° como 0,577.
A altura do prédio representa a distância entre os vértices A e C, sendo assim:
João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.
Resposta correta: 12,5 cm.
Como a escada forma um triângulo retângulo, o primeiro passo para responder à questão é encontrar a altura da rampa, que corresponde ao cateto oposto.
Se a altura da escada é de 1m e ela possui 8 degraus, então dividindo a altura por 8 encontraremos a altura de cada degrau.
Portanto, cada degrau apresenta a altura de 0,125 m ou 12,5 cm.
O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais formados com a base. Observe a figura abaixo e determine a medida dos lados congruentes deste triângulo.
Resposta correta:
Pela lei dos senos, em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:
Substituindo pelos valores da figura, podemos calcular o valor de x.
Para eliminar a raiz quadrada do denominador devemos racionalizá-lo.
Portanto, os lados congruentes possuem a medida de .
Ana estava estudando trigonometria para prova. Ao fazer uma pausa, ela olhou para o relógio e percebeu que ele estava parado em 2h40 min, pois havia acabado a pilha. Para testar se realmente seus estudos estavam indo bem, Ana resolveu calcular a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros do relógio.
Qual o ângulo formado quando o relógio marca 2h40 min?
Resposta correta: 160º.
Um relógio é uma circunferência e, portanto, a soma dos ângulos internos resulta em 360º. Se dividirmos por 12, o número total escrito no relógio, encontramos que o espaço entre dois números consecutivos corresponde a um ângulo de 30º.
Do número 2 ao número 8 percorremos 6 marcas consecutivas e, por isso, o deslocamento pode ser escrito da seguinte forma:
A partir disso, podemos calcular o valor de , que corresponde ao ângulo de 2h40 min, fazendo subtração:
Sabendo que em 1h, ou 60 min, o ponteiro forma um ângulo de 30º, realizamos uma regra de três para encontrarmos o ângulo que corresponde a 40 min.
Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado AC e o ângulo formado no vértice A.
Resposta correta: b = 7,82 e ângulo 52º.
Primeira parte: comprimento do lado AC
Pela representação, observamos que temos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja medida queremos encontrar.
Para calcular a medida de b, precisamos utilizar a lei dos cossenos:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."
Portanto:
Segunda parte: medida do ângulo no vértice A
Para determinar a medida do ângulo no vértice A, podemos utilizar a lei dos senos:
Consultando uma tabela trigonométrica, podemos observar que o resultado 0,7837 está mais próximo do seno de 52º. Portanto, 52º é o ângulo que estamos procurando.
Questão 9
Observe o triângulo abaixo e em função da medida b do lado AC, determine as medidas dos lados AB e BC.
Considere:
sen 45º = 0,707
sen 60º = 0,866
sen 75º = 0,966
Resposta correta: AB = 0,816b e BC = 1,115b.
Como a soma dos ângulo internos de um triângulo deve ser 180º e já temos as medidas de dois ângulos, subtraindo os valores dados encontramos a medida do terceiro ângulo.
(Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é
Alternativa correta: .
A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:
Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:
Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:
a2 = b2+c2
25 = (2c)2+c2
5c2 = 25
c = √5
Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:
(Epcar - 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a
a) 6 +√3
b) 6(3 − √3 )
c) 9 √3 − √2
d) 9(√ 2 − 1)
Alternativa correta: b) 6(3 − √3 ).
Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC.
O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:
Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:
Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna.
Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:
Alternativa b: 6(3 − √3 )
Questão 12
Conteúdo exclusivo para assinantes Toda Matéria+
Além de mais exercícios, tenha acesso a mais recursos para dar um up nos seus estudos.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.