Velocidade relativa

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
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Velocidade relativa é a análise entre velocidades de corpos diferentes. No estudo das velocidades relativas, o referencial passa a ser o movimento de outro corpo. A direção e o sentido dos movimentos são considerados, por isso, a velocidade relativa é uma grandeza vetorial.

No estudo das velocidades relativas, o objetivo é responder questões como o momento em que dois móveis irão se encontrar ou, que posição estarão um do outro após um intervalo de tempo, além de comparar as duas velocidades. No estudo de um móvel em relação a um referencial parado (inercial), velocidade é a divisão entre o espaço percorrido e o tempo que um móvel leva para percorrê-lo.

As mesmas fórmulas dos estudos de MU (Movimento Uniforme) e MUV (Movimento Uniformemente Variado) são utilizadas.

Velocidade relativa com mesma direção e sentido

Deve-se subtrair os módulos das velocidades.

começar estilo tamanho matemático 22px reto V com rel subscrito espaço igual a espaço reto V com 1 subscrito menos reto V com 2 subscrito fim do estilo

Onde:
Vrel é a velocidade relativa;
V1 e V2 são as velocidades de cada móvel.

Esta fórmula é válida tanto em situações de aproximação quanto de afastamento entre os móveis.

Velocidade relativa entre dois móveis.
Os vetores (setas) indicam mesma direção e sentido.

Exemplo
Um caminhão trafega por uma rodovia com duas pistas no mesmo sentido com velocidade de 80 km/h. Um condutor de uma moto que está 100 m distante da frente do caminhão, pretende ultrapassá-lo. Considerando que as velocidades mantêm-se constantes e desprezando as dimensões da moto, responda:

a) Qual a velocidade relativa entre a moto e caminhão?

Como o movimento é de mesma direção e sentido, devemos subtrair os módulos das velocidades.

reto V com rel subscrito igual a reto V com 1 subscrito menos reto V com 2 subscrito espaço igual a espaço 100 menos 80 igual a 20 espaço km dividido por reto h

Isto equivale a dizer que a moto se afasta do caminhão como se estivesse andando a 20 km/h enquanto o caminhão se mantém parado.
Por isso em uma ultrapassagem, mesmo em alta velocidade em relação a estrada, nos movemos lentamente em relação ao outro veículo, pois a velocidade relativa entre os dois é menor que o módulo da velocidade em relação a estrada.

b) Em quanto tempo a moto completará a ultrapassagem, considerando este ponto como a origem do movimento?

Dados:
Movimento com mesma direção e sentido.
Vmoto = 100 km/h
Vcaminhão = 80 km/h
Distância entre os veículos = 100 m = 0,1 km

As funções horárias das posições dos dois móveis são:

Smoto = S0 + Vt
Smoto = 0 + 100t = 100t

Scaminhão = S0 +Vt
Scaminhão = 0,1 + 80t

No instante da ultrapassagem as posições serão iguais.

Smoto = Scaminhão
100t = 0,1 + 80t
100t - 80t = 0,1
20t = 0,1
t=0,1/20 = 0,005 h

Passando para minutos
0,005 x 60 = 0,3 min

Passando para segundos
0,3 x 60 = 18 s

Portanto, levará 18 s para a moto completar a ultrapassagem.

c) A partir do momento que a moto completa a ultrapassagem, após 18 s, ela estará a que distância do caminhão?

Considerando o momento da ultrapassagem como origem das posições e do tempo, e tendo que as velocidades continuam constantes, as funções horárias são:

Smoto = 100t
Scaminhão = 80t

Como vimos, 18 s equivalem a 0,005 h.

Substituindo nas funções horárias:

Para a moto

S menos S com 0 subscrito igual a V t igual a 100 espaço. espaço 0 vírgula 005 espaço igual a espaço 0 vírgula 5 espaço k m

Para o caminhão

S menos S com 0 subscrito igual a V t igual a 80 espaço. espaço 0 vírgula 005 espaço igual a espaço 0 vírgula 4 espaço k m

Fazendo a subtração das distâncias que cada veículo percorreu 18 s após a ultrapassagem:

Smoto - Scaminhão = 0,5 - 0,4 = 0,1 km ou 100 m.

Como era de esperar, pois os módulos das velocidades mantiveram-se constantes e, após o mesmo intervalo de tempo, as distâncias percorridas seriam as mesmas.

Velocidade relativa com mesma direção e sentidos opostos

Deve-se somar os módulos das velocidades.

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Onde:
Vrel é a velocidade relativa;
V1 e V2 são as velocidades de cada móvel.

Esta fórmula é válida tanto em situações de aproximação quanto de afastamento entre os móveis.

Velocidade relativa entre dois corpos.
Os vetores (setas) apontam em sentidos opostos.

Exemplo
Dois trens partiram das cidades A e B, cada um tendo como destino final a cidade de onde o outro saiu. Estas cidades estão distantes 440 km uma da outra. O trem que parte da cidade A anda a uma velocidade de 50 km/h, enquanto o que partiu da cidade B, 60 km/h. Suas linhas férreas mantêm-se paralelas ao longo do percurso.

a) Qual a velocidade relativa entre os trens?

Como estão em sentidos opostos, somamos as velocidades.

começar estilo tamanho matemático 16px reto V com rel subscrito espaço igual a espaço 50 mais espaço 60 espaço igual a espaço 110 espaço km dividido por reto h fim do estilo

b) Em quanto tempo se encontrarão?

As funções horárias das posições, adotando como sentido positivo a direção de A para B:

Para o trem que partiu de A:
S com A subscrito igual a S com 0 subscrito mais V t igual a 0 mais 50 t espaço igual a espaço 50 t

Para o trem que partiu de B:
S com B subscrito igual a S com 0 subscrito mais V t igual a 440 menos 60 t

Estes se encontrarão quando S com A subscrito igual a S com B subscrito, desta forma:

50 t igual a 440 menos 60 t 50 t mais 60 t igual a 440 110 t igual a 440 t igual a 440 sobre 110 igual a 4 espaço h

Portanto, eles demorarão 4 h para se encontrarem.

c) Um trem partindo da cidade A e indo para a cidade B, mantendo uma velocidade constante de 110 km/h levaria quanto tempo para completar a viagem de 440 km?

O mesmo tempo, 4h, pois

S igual a S com 0 subscrito mais V t S menos S com 0 subscrito igual a V t 440 igual a 110 t 440 sobre 110 t 4 espaço h espaço igual a espaço t

Isto equivale a dizer que os trens se aproximarão um do outro como se um estivesse parado e o outro a uma velocidade de 110 km/h.

Exercícios

Questão 1

(CESGRANRIO-RJ) Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante de 50 km/h. Quanto tempo depois de sua partida deverá sair, da mesma estação, um segundo trem com velocidade constante de 75 km/h para alcançá-lo a 120 km da cidade?

a) 24 min
b) 48 min
c) 96 min
d) 144 min
e) 288 min

Resposta correta: b) 48 min.

Classificamos o movimento como MRU (movimento retilíneo uniforme), pois as velocidades são constante e, o modelo matemático que usaremos é a função horária das posições:

S igual a S com 0 subscrito mais V t

O tempo até o encontro é o tempo que o primeiro trem leva para completar os 120 km.

S espaço menos espaço S com 0 subscrito igual a V t incremento S igual a V t 120 igual a 50 t 120 sobre 50 igual a t 2 vírgula 4 espaço h espaço igual a espaço t

Para o segundo trem, chamaremos de incremento t o tempo que ele espera na estação.
No encontro temos que as posições serão iguais, S com 1 subscrito igual a S com 2 subscrito.

S com 1 subscrito igual a S com 2 subscrito S com 0 subscrito mais V t com 1 subscrito igual a S com 0 subscrito mais V t com 2 subscrito 0 espaço mais espaço 50 t igual a 0 mais 75 parêntese esquerdo t menos incremento t parêntese direito 50 t igual a 75 t menos 75 incremento t 75 incremento t igual a 75 t menos 50 t 75 incremento t igual a 25 t incremento t igual a numerador 25 t sobre denominador 75 fim da fração espaço igual a espaço numerador 25.2 vírgula 4 sobre denominador 75 fim da fração igual a 0 vírgula 8 espaço h

Passando para minutos

0 vírgula 8.60 igual a 48 espaço m i n

Portando, o segundo trem parte 48 min após o primeiro.

Questão 2

(UFMG 2009) Numa corrida, Rubens Barrichelo segue atrás de Felipe Massa, em um trecho da pista reto e plano. Inicialmente, os dois carros movem-se com velocidades constantes, de mesmos módulos, direção e sentido. No instante t1, Felipe aumenta a velocidade de seu carro com aceleração constante; e, no instante t2, Barrichelo também aumenta a velocidade do seu carro com a mesma aceleração.
Considerando essas informações, assinale a alternativa cujo gráfico melhor descreve o módulo da velocidade relativa entre os dois veículos, em função do tempo.

a) Gráfico de velocidade relativa

b) Gráfico de velocidade relativa

c)Gráfico de velocidade relativa

d)Gráfico de velocidade relativa

Resposta correta: alternativa a.

Como estão em mesma direção e sentido o módulo da velocidade relativa é a diferença entre os módulos das velocidades de cada carro, a cada instante.

Até chegar t1, as duas velocidades eram constantes e iguais, por isso, a diferença entre elas é zero.

Após t1, a velocidade do carro de Felipe aumenta a cada instante, pois se encontra com aceleração constante. Neste período, o carro de Barrichelo se mantém com mesma velocidade. Por isso, a cada instante, a diferença aumenta linearmente e o gráfico é uma reta ascendente. As opções c e d são descartadas.

Após t2, considerando que Felipe mantém a mesma aceleração e, que Barrichelo imprime uma aceleração igual, a partir deste ponto, os veículos aumentam suas velocidades igualmente a cada instante, a diferença entre as velocidades passa a ser constante. Como a diferença das velocidades mantém o mesmo valor, significa que a velocidade relativa mantém o mesmo valor, assim, o gráfico é uma linha horizontal.

Sendo assim, a alternativa correta é a letra a.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.