Equação de Torricelli

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

A equação de Torricelli é utilizada na física, mais precisamente no movimento uniformemente variado (MUV). Ela é utilizada para calcular a velocidade de um corpo em relação ao espaço que ele percorre.

Com o uso da equação, ou fórmula de Torricelli, é possível determinar a velocidade sem conhecer o tempo, bastando a velocidade inicial, a aceleração e o espaço percorrido pelo móvel.

Fórmula de Torricelli

começar estilo tamanho matemático 18px reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2. reto a. Δs fim do estilo

Onde,
v: velocidade final (m/s)
v0: velocidade inicial (m/s)
a: aceleração (m/s2)
Δs: espaço percorrido pelo corpo (m)

A equação de Torricelli é muito útil em situações que não temos a informação do tempo, e não é o valor que estamos procurando.

Exemplo
Um móvel percorre uma trajetória com aceleração constante de 1 m/s² a partir do repouso. Determine sua velocidade após percorrer 8 m.

Dados
Velocidade inicial V com 0 subscrito igual a 0 (partindo do repouso)
Aceleração constante de 1 m/s². (MUV)
Distância percorrida incremento S igual a 8 espaço m.

Aplicando os valores na equação.

começar estilo tamanho matemático 16px reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2. reto a. Δs reto v ao quadrado igual a 0 ao quadrado mais 2.1.8 reto v ao quadrado igual a 0 mais 16 reto v igual a raiz quadrada de 16 v igual a 4 espaço m dividido por s fim do estilo

Quem foi Torricelli?

Torricelli

Retrato de Evangelista Torricelli (1647) feito pelo pintor italiano Lorenzo Lippi

Evangelista Torricelli nasceu na província italiana de Faenza, no dia 15 de outubro de 1608.

Discípulo de Galileu Galilei, Torricelli foi professor, físico e matemático. Ficou também conhecido por seus trabalhos na área da óptica e da cinemática.

Foi inventor do barômetro, instrumento que mede pressão atmosférica, e da famosa “Equação de Torricelli”.

Faleceu em Florença, dia 25 de outubro de 1647, vítima de febre tifoide.

Dedução da equação de Torricelli

Para chegar a essa equação, partimos das duas equações do movimento uniformemente variado, ou seja:

s igual a s com 0 subscrito mais v com 0 subscrito t mais 1 meio a t ao quadrado espaço

e

espaço v igual a v com 0 subscrito mais a t

Começaremos isolando o t na segunda equação, assim:

t igual a numerador v menos v com 0 subscrito sobre denominador a fim da fração

Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:

s igual a s com 0 subscrito mais v com 0 subscrito espaço numerador parêntese esquerdo v menos v com 0 subscrito parêntese direito sobre denominador a fim da fração mais 1 meio a. abre parênteses numerador v menos v com 0 subscrito sobre denominador a fim da fração fecha parênteses ao quadrado s menos s com 0 subscrito igual a numerador v com 0 subscrito v menos v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador a fim da fração mais numerador diagonal para cima risco a parêntese esquerdo v ao quadrado menos 2 v v com 0 subscrito mais v com 0 subscrito ao quadrado parêntese direito sobre denominador 2 riscado diagonal para cima sobre a ao quadrado fim do riscado fim da fração

Reduzimos a expressão a um mesmo denominador.

2 a incremento s igual a riscado diagonal para cima sobre 2 v com 0 subscrito v fim do riscado menos 2 v com 0 subscrito ao quadrado mais v ao quadrado riscado diagonal para cima sobre menos 2 v v com 0 subscrito fim do riscado mais v com 0 subscrito ao quadrado

Chegamos, então a equação de Torricelli.

bold italic v à potência de negrito 2 negrito igual a negrito v com negrito 0 subscrito à potência de negrito 2 negrito mais negrito 2 bold italic a negrito incremento bold italic s

Leia mais:

Exercícios de Equação de Torricelli com Gabarito

Exercício 1

(UEPI) Um corpo é abandonado de uma altura de 20 m num local onde a aceleração da gravidade da Terra é dada por g = 10 m/s2. Desprezando o atrito, o corpo toca o solo com velocidade:

a) igual a 20 m/s
b) nula
c) igual a 10 m/s
d) igual a 20 km/h
e) igual a 15 m/s

Resposta correta: a) igual a 20 m/s

Dados
Corpo abandonado (velocidade inicial igual a zero).
Altura de 20m
Aceleração da gravidade g = 10 m/s2

Como é um movimento com aceleração constante, trata-se de um movimento uniformemente variado (MUV).

Objetivo
Determinar a velocidade com que o corpo toca o solo.

Resolução
Como não há informação do tempo, utilizamos a equação de Torricelli.

reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s

Substituindo os dados na equação:

reto v ao quadrado igual a 0 ao quadrado mais 2.10.20 reto v ao quadrado igual a 400 reto v igual a raiz quadrada de 400 reto v igual a 20 espaço reto m dividido por reto s

Conclusão
A velocidade com que o corpo chega ao solo é de 20 m/s.

Exercício 2

(Uneb-BA) Uma partícula, inicialmente a 2 m/s, é acelerada uniformemente e, após percorrer 8 m, alcança a velocidade de 6 m/s. Nessas condições, sua aceleração, em metros por segundo ao quadrado, é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta correta: b) 2

Dados
Velocidade inicial de 2 m/s.
Acelerada uniformemente. (Trata-se trata-se de um movimento uniformemente variado MUV).
Percorre 8 m.
Velocidade final de 6 m/s.

Objetivo
Determinar a aceleração.

Resolução

Como não há informação do tempo, utilizamos a equação de Torricelli.

reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s

Isolando a na equação:

reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado igual a 2 reto a incremento reto s numerador reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2 incremento reto s fim da fração igual a reto a

Substituindo os dados na equação:

numerador 6 ao quadrado menos 2 ao quadrado sobre denominador 2.8 fim da fração igual a reto a numerador 36 menos 4 sobre denominador 16 fim da fração igual a reto a 32 sobre 16 igual a reto a 2 igual a reto a

Conclusão
A aceleração é de 2 m/s².

Exercício 3

(Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 20 m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo completamente da mesma 10s após, com velocidade escalar de 10 m/s. O comprimento da ponte é:

a) 150 m
b) 120 m
c) 90 m
d) 60 m
e) 30 m

Resposta correta: e) 30 m

Dados
Comprimento do trem 120 m.
Velocidade inicial de 20 m/s.
Velocidade final de 10 m/s.
Tempo para atravessar a ponte de 10s.

Objetivo
Determinar o comprimento da ponte.

Resolução
Como ocorre mudança de velocidade existe aceleração, no caso, uma desaceleração uniforme. Por isso, trata-se de movimento uniformemente variado (MUV).

A aceleração é a variação da velocidade em um intervalo de tempo.

a igual a numerador V espaço menos espaço V com 0 subscrito sobre denominador t fim da fração igual a numerador 10 espaço menos espaço 20 sobre denominador 10 fim da fração espaço igual a numerador menos 10 sobre denominador 10 fim da fração igual a menos 1 espaço m dividido por s ao quadrado

Utilizamos a equação de Torricelli para determinar o espaço percorrido.

reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s

Isolando incremento reto s na equação:

numerador reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2 reto a fim da fração igual a incremento reto s numerador 10 ao quadrado menos 20 ao quadrado sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a incremento reto s numerador 100 menos 400 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a incremento reto s numerador menos 300 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a incremento reto s 150 igual a incremento reto s

A distância total percorrida foi de 150m. No entanto, queremos o comprimento a ponte.

A distância total é o comprimento da ponte mais o comprimento do trem.

distância total = comprimento da ponte + comprimento do trem

Substituindo os valores

150 = comprimento da ponte + 120
150 - 120 = comprimento da ponte
30 = comprimento da ponte

Conclusão
A ponte possui 30 m de comprimento.

Veja também

Velocidade relativa

Lançamento Oblíquo

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.