Exercícios sobre permutação simples (com gabarito explicado)

Temos 7 letras no total sendo 4 consoante e 3 vogais. Como queremos que o anagrama comece e termine por consoante temos:

Para começar – 4 possibilidades

Para terminar – 3 possibilidades (pois já usamos uma consoante)

Gastamos 2 letras sobrando 5 que podem ser permutadas – 5!

Pelo Princípio Fundamental da contagem teremos:

4 x 3 x 5! = 1440 anagramas

A palavra ORQUÍDEA possui 8 letras todas distintas, portanto o número de anagramas é dado por permutação de 8 elementos, que é igual a 8! = 40320.

Como o primeiro dígito deve ser 4 contamos todas as possibilidades anteriores:

3 x 4! = 72

Passando para o segundo dígito e deixando 4 como o dígito inicial teremos agora duas possibilidades {1,2}, logo:

2 x 3! = 12

Fixando 43... temos para terceira posição os dígitos menores que 5, {1,2}, portanto:

2 x 2! = 4

Até aqui formamos o número 43251 e o próximo será o que estamos buscando 43512.

Portanto, 72 + 12 + 4 + 1 = 89ª

Escolha do Motorista (1 vaga) - 4 (Habilitados)

Escolha dos Passageiros (11 vagas) - 11!

Pelo Princípio Fundamental da Contagem

4 . 11! ou 159.667.220 possibilidades

Total de Permutações

Com 4 algarismos distintos (2, 4, 6, 8), o total de números formados é:

4! = 24 números

Frequência por Posição

Pela simetria, cada algarismo aparece a mesma quantidade de vezes em cada ordem decimal (milhares, centenas, dezenas e unidades):

Frequência = 24/4 = 6 vezes

Soma das Colunas

A soma dos dígitos disponíveis é 2 + 4 + 6 + 8 = 20. Como cada um aparece 6 vezes por coluna, a soma de cada "vertical" é:

S = 20 . 6 = 120

Valor Posicional (Resultado Final)

Somamos os valores de cada ordem decimal multiplicados pela soma da coluna:

120 . 1000 + 120 . 100 + 120 . 10 + 120 . 1 = 133.320

Agrupamento dos Elementos

Como os algarismos 2 e 3 devem estar sempre juntos, nós os "colamos" e passamos a considerá-los como um único elemento ou bloco: (23).

Contagem dos Elementos a Permutar

Agora, em vez de 6 algarismos isolados, temos o bloco mais os outros 4 algarismos restantes (1, 4, 5, 6):

5! = 120

Total de elementos: 5

Permutação Interna (Dentro do Bloco)

Dentro do bloco (23), os algarismos podem trocar de ordem entre si (pode ser "23" ou "32"):

2! = 2

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos as possibilidades:

120 . 2= 240 possibilidades

Calcular o Total de Permutações

Sem qualquer restrição, as 7 pessoas podem se organizar de qualquer forma na fila.

7! = 5040

Calcular o Caso restrito

O enunciado diz que as duas pessoas específicas (vamos chamá-las de A e B) não podem ocupar as extremidades simultaneamente. O caso restrito é, portanto, quando A está em uma ponta e B está na outra.

Posicionamento de A e B: Eles podem ocupar as extremidades de 2 formas: (A na frente, B no fim) ou (B na frente, A no fim). Isso é:

2! = 2

Posicionamento dos demais: As outras 5 pessoas ocuparão os 5 lugares restantes no meio da fila.

5! = 120

Pelo Princípio Fundamentasl da Contagem não nos serve como solução:

120 . 2 = 240

Subtraindo os casos que não servem do total:

5040 - 240 = 4800

Em ordem alfabética as letras ficam: A - C - O - R - S - T

Como queremos a 1ª letra sendo T podemos contar todos os anagramas que vem antes:

Como a 2ª letra já é a letra A podemos pular para a 3ª letra que é R. Com antes de R temos duas possibilidades:

Como a 4ª letra já a letra C podemos passar para a 5ª que já a letra O e no final a letra S, ou seja, até aqui contamos 612 + 1 (exatamente a posição que queremos), logo temos que a posição do anagrama TARCOS é a 613ª.