Exercícios sobre soma e produto das raízes do 2º grau (com resolução detalhada)
Neste artigo, você encontrará uma lista de exercícios inéditos, acompanhados de resoluções detalhadas. O material abrange desde a construção de equações a partir de suas raízes até problemas mais avançados, envolvendo identidades algébricas e desafios de lógica.
Questão 1
Sabendo que as raízes da equação do 2° grau 
são 
e 
. Determine o valor de 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
Podemos reescrever a expressão pedida e aplicar as relações de Girad/Viète de soma e produto das raízes.
e 
Questão 2
A equação 
possui raízes recíprocas. Sendo 
e 
essas raízes e 
, determine o valor de 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
Sabemos que
pois as raízes são recíprocas
Assim,
Calculando a expressão
Questão 3
Determine o valor de 
positivo, na equação
, de modo que o módulo da diferença entre as raízes seja igual a 4.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
Vamos considerar e como as raízes, assim:
Queremos
Elevando ao quadrado
Reescrevendo o quadrado da diferença usando o quadrado da soma
Substituindo a soma e o produto das raízes
Mas como deve ser positivo, 
.
Questão 4
Sabendo que as raízes da equação 
são simétricas entre si, determine o produto dessas raízes.
a) 4
b) 2
c) 1
d) 0
Como as raízes são simétricas então temos que a soma vale zero.
Agora pelo produto das raízes temos:
Questão 5
Sejam e 
as raízes da equação 
. Sabendo que 
, o valor da expressão 
é:
a) 
b) 
c) 
d) 
Como queremos precisaremos também da diferença 
.
Agora fatorando .
Questão 6
As dimensões de um retângulo, em unidades de comprimento, correspondem às raízes da equação quadrática 
. Sabendo que o perímetro desse retângulo é 
e que sua área é 
, determine o valor da expressão 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
Sabemos que o perímetro é
Por outro lado a área vale:
Assim,
Questão 7
Os alunos de uma turma de 3º ano estão planejando uma festa de formatura que custará um total de R$ 12.000,00, valor este a ser dividido igualmente entre todos os participantes. No entanto, de última hora, 4 alunos desistiram do evento. Com isso, cada um dos alunos restantes deverá arcar com um valor extra de R$ 250,00. Quantos alunos efetivamente participarão da festa de formatura?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 16
Inicialmente devemos modelar o problema da seguinte forma:
Seja 
o valor pago pelos 
alunos.
Com a desistência de 4 alunos cada um tem que pagar uma taxa extra de R$250.
Substituindo (I) em (II) teremos:
Assim o número de participantes na festa é dado por:
Veja também:
Soma e produto: fórmulas, exemplos e exercícios resolvidos
Exercícios sobre equação do 2º grau (com questões resolvidas e explicadas)
Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações: volume 1. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016.
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio: volume 1. 11. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. (Coleção do Professor de Matemática).
PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva: volume 1. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2015.
CANELLAS, William. Exercícios sobre soma e produto das raízes do 2º grau (com resolução detalhada). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-soma-e-produto-das-raizes-do-2-grau-com-resolucao-detalhada/. Acesso em:
