Histograma: como construir e interpretar (com exercícios)

Histograma é o gráfico que representa dados numéricos agrupados em intervalos, chamados classes, por meio de barras verticais coladas umas às outras. A altura de cada barra indica quantos dados caíram naquele intervalo, e a ausência de espaço entre as barras mostra que as classes são contínuas, sem buracos entre elas.

Imagine que você mediu a altura dos 40 alunos da sua turma. Listar os 40 números não diz quase nada. Mas se você agrupar as alturas em faixas de 5 em 5 centímetros e desenhar uma barra para cada faixa, o formato que aparece responde de imediato às perguntas que interessam: onde está a maioria da turma, se há alunos muito acima ou muito abaixo do grupo, e quão espalhados os valores estão.

Neste conteúdo você encontra:

• Histograma ou gráfico de colunas?
• Elementos do histograma
• Como construir um histograma passo a passo
• Como interpretar um histograma
• Polígono de frequência
• Histograma no ENEM
• Perguntas frequentes
• Exercícios

Histograma ou gráfico de colunas?

Esta é a dúvida número um do tema, e a resposta não está na aparência do gráfico: está no tipo de variável que cada um representa.

Histograma — representa variável quantitativa contínua, ou seja, medida em números que podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo, como altura, peso, tempo ou temperatura. Os dados são agrupados em classes, e as barras ficam justapostas, coladas umas às outras.

Gráfico de colunas — representa variável qualitativa ou quantitativa discreta, como esporte preferido, cor favorita ou número de irmãos. Cada coluna corresponde a uma categoria isolada, e por isso as barras ficam separadas por espaços.

O espaço entre as barras não é decoração: ele comunica que as categorias são independentes umas das outras. No histograma, ao contrário, o fim de uma classe é o começo da seguinte, e um espaço em branco daria a entender, incorretamente, que existem valores que não pertencem a nenhuma classe. Para comparar com os demais formatos de representação de dados, veja o panorama dos tipos de gráficos.

Elementos do histograma

Antes de desenhar, é preciso conhecer o vocabulário que organiza os dados:

• Classe — cada intervalo em que os dados são agrupados, escrito na forma 150 |— 155, que se lê "de 150 inclusive até 155 exclusive".
• Limites da classe — o menor e o maior valor do intervalo. Na classe 150 |— 155, o limite inferior é 150 e o superior é 155.
• Amplitude da classe — a diferença entre os dois limites. No exemplo, vale 5.
• Amplitude total — a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.
• Ponto médio — o valor central da classe, obtido pela média dos limites. Na classe 150 |— 155, é 152,5.
• Frequência absoluta — quantos dados caíram em cada classe.
• Frequência relativa — a mesma contagem expressa em porcentagem do total.

A notação 150 |— 155 resolve um problema real: um aluno com exatamente 155 cm precisa entrar em uma única classe. O traço indica que ele pertence à classe seguinte, e não a esta.

Como construir um histograma passo a passo

Vamos usar um único conjunto de dados do começo ao fim: as alturas, em centímetros, dos 40 alunos de uma turma do 9º ano, com valores entre 150 e 179 cm.

1º passo — organizar o rol. Coloque os 40 valores em ordem crescente. O menor é 150 e o maior é 179, o que dá amplitude total de 29 cm.

2º passo — definir as classes. Com 40 dados, de 5 a 7 classes costumam funcionar bem. Escolhendo amplitude de 5 cm e começando em 150, chega-se a 6 classes que cobrem de 150 a 180.

3º passo — montar a tabela de distribuição de frequências. Conte quantos alunos caem em cada classe:

150 |— 155 — 3 alunos — ponto médio 152,5 — 7,5%
155 |— 160 — 7 alunos — ponto médio 157,5 — 17,5%
160 |— 165 — 12 alunos — ponto médio 162,5 — 30%
165 |— 170 — 10 alunos — ponto médio 167,5 — 25%
170 |— 175 — 6 alunos — ponto médio 172,5 — 15%
175 |— 180 — 2 alunos — ponto médio 177,5 — 5%
Total — 40 alunos — 100%

4º passo — desenhar os eixos. No eixo horizontal vão os limites das classes; no eixo vertical, as frequências.

5º passo — levantar as barras. Cada classe recebe um retângulo cuja base é o intervalo e cuja altura é a frequência. As bases se tocam, sem espaços.

Antes de dar o trabalho por encerrado, confira sempre a soma das frequências: se ela não bater com o total de dados, algum valor foi contado duas vezes ou ficou de fora. Aqui, 3 + 7 + 12 + 10 + 6 + 2 = 40, o que confirma a contagem.

Como interpretar um histograma

O gráfico pronto responde a quatro perguntas que a lista de números não responderia.

Onde os dados se concentram. A barra mais alta indica a classe modal, aquela com maior frequência. No exemplo, é a classe 160 |— 165, com 12 alunos: a altura mais comum da turma está nessa faixa.

Se a distribuição é simétrica. Quando as barras de um lado espelham as do outro, a distribuição é simétrica. Aqui há uma leve assimetria à direita, porque as classes mais altas têm menos alunos do que as mais baixas.

Quão espalhados estão os valores. Um histograma largo e baixo indica dados dispersos; um estreito e alto indica dados concentrados. Essa leitura conversa diretamente com as medidas de dispersão, que colocam número nessa impressão visual.

Se existem valores isolados. Barras muito baixas e afastadas do grupo principal sinalizam dados atípicos, que merecem atenção. No exemplo, os 2 alunos da classe 175 |— 180 estão no limite superior da turma.

Uma advertência importante: o histograma não permite recuperar os valores originais. Olhando o gráfico, sabemos que 12 alunos medem entre 160 e 165 cm, mas não sabemos quanto mede cada um. Essa perda de detalhe é o preço do agrupamento — e é exatamente o que o diagrama de ramos e folhas evita, ao custo de só funcionar com conjuntos pequenos.

Polígono de frequência

O polígono de frequência é a linha que se obtém ligando os pontos médios do topo de cada barra do histograma. Ele mostra o mesmo conjunto de dados, mas destaca o formato da distribuição em vez das contagens isoladas.

Para fechar a figura, a linha desce até o eixo horizontal nas duas extremidades, em classes imaginárias de frequência zero antes da primeira e depois da última. Essa é a diferença prática entre os dois gráficos: o histograma é a leitura de cada classe, e o polígono é a leitura do perfil do conjunto. Quando é preciso comparar duas turmas, o polígono leva vantagem, porque duas linhas cabem no mesmo par de eixos e dois histogramas não.

Histograma no ENEM

No ENEM, o histograma quase nunca aparece para ser construído — aparece para ser lido. As tarefas mais cobradas são três.

Somar frequências de classes vizinhas. Perguntas do tipo "quantas pessoas têm entre 160 cm e 170 cm" exigem somar as barras correspondentes: 12 + 10 = 22 alunos.
Converter frequência absoluta em porcentagem. "Que percentual da turma mede menos de 160 cm" pede (3 + 7) ÷ 40 = 0,25, ou seja, 25%.
Identificar a classe modal ou estimar a mediana. A classe modal é a barra mais alta; a classe da mediana é aquela em que a soma acumulada ultrapassa metade do total.

O erro mais frequente é somar as alturas das barras quando a pergunta pede um percentual, ou dividir pelo número de classes em vez de pelo total de dados. Para treinar esse tipo de leitura com gabarito comentado, resolva a lista de exercícios com gráficos.

Perguntas frequentes

O que é um histograma?

Histograma é o gráfico de barras verticais justapostas que representa dados numéricos agrupados em classes, em que a altura de cada barra indica a frequência da classe correspondente. Ele serve para visualizar como um conjunto de dados se distribui.

Qual é a diferença entre histograma e gráfico de barras?

A diferença está no tipo de dado: o histograma representa variáveis quantitativas contínuas agrupadas em classes e tem barras coladas, enquanto o gráfico de barras ou colunas representa categorias independentes e tem barras separadas por espaços.

Quantas classes deve ter um histograma?

Há algumas técnicas diferentes para determinar a quantidade de classes como por exemplo a Regra de Sturges (baseada na distribuição binomial) e a Regra da Raiz Quadrada muito usada em estatística descritiva básica. Baseia-se na ideia de que o número de classes deve crescer proporcionalmente à raiz quadrada do tamanho da amostra.

Regra de Sturges

Regra da Raiz Quadrada

Onde, é a quantidade de classes e é o total de dados.

Mas costuma-se usar de 5 a 15 classes, ajustando à quantidade de dados: conjuntos pequenos pedem menos classes e conjuntos grandes admitem mais. Poucas classes escondem detalhes da distribuição; classes demais produzem um gráfico irregular e difícil de ler.

No nosso exemplo teremos pelo método da raiz quadrada:

Como calcular a amplitude das classes?

Divida a amplitude total dos dados pelo número de classes desejado e arredonde para um valor de leitura confortável. Se as alturas vão de 150 a 179 cm e você quer 6 classes, a conta 29 ÷ 6 ≈ 4,8 sugere usar amplitude 5.

Exercícios

Para consolidar a leitura de tabelas de frequência, médias e gráficos em questões de prova, resolva os exercícios sobre noções de estatística.