Posição relativa entre duas retas (com exercícios)
A posição relativa entre duas retas no plano pode ser de três tipos: concorrentes, quando se cruzam em um único ponto; paralelas distintas, quando não têm nenhum ponto em comum; e coincidentes, quando são a mesma reta e têm infinitos pontos em comum. As perpendiculares são um caso particular das concorrentes, que se cruzam formando um ângulo de 90°.
Para classificar duas retas não verticais escritas na forma reduzida, y = mx + n, basta comparar os coeficientes: se m1 ≠ m2, são concorrentes; se m1 = m2 e n1 ≠ n2, são paralelas distintas; se m1 = m2 e n1 = n2, são coincidentes. Se m1 · m2 = −1, são perpendiculares.
Essa classificação corresponde ao número de soluções do sistema formado pelas duas equações, estudado em sistemas lineares. Para revisar as formas de escrever uma reta e o significado dos coeficientes, veja o artigo sobre equação da reta.
Resumo: critérios para classificar duas retas
| Posição relativa | Pontos comuns | Forma reduzida (retas não verticais) | Forma geral (ax + by + c = 0) |
|---|---|---|---|
| Concorrentes | 1 | m1 ≠ m2 | a1/a2 ≠ b1/b2 |
| Paralelas distintas | 0 | m1 = m2 e n1 ≠ n2 | a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 |
| Coincidentes | infinitos | m1 = m2 e n1 = n2 | a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 |
| Perpendiculares | 1, em ângulo reto | m1 · m2 = −1 | Passar para a forma reduzida e testar o produto |
Neste conteúdo você encontra:
- Duas retas, um sistema linear
- Retas concorrentes
- Retas paralelas distintas e coincidentes
- Quando uma das retas é vertical
- Retas perpendiculares
- Passo a passo para classificar duas retas
- Exercícios sobre posição relativa entre duas retas
- Perguntas frequentes
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Duas retas, um sistema linear
Cada reta é o conjunto dos pontos que satisfazem sua equação. Por isso, duas retas formam um sistema de duas equações e duas incógnitas, e resolver o sistema é procurar os pontos que estão nas duas retas ao mesmo tempo:
| Tipo de sistema | Número de soluções | Posição das retas |
|---|---|---|
| Sistema possível e determinado (SPD) | Uma | Concorrentes |
| Sistema impossível (SI) | Nenhuma | Paralelas distintas |
| Sistema possível e indeterminado (SPI) | Infinitas | Coincidentes |
Exemplos
SPD: r: y = 2x + 1 e s: y = −x + 4. Igualando as expressões de y:
2x + 1 = −x + 4
3x = 3
x = 1 e y = 2 · 1 + 1 = 3
Uma solução, (1, 3): as retas são concorrentes.
SI: r: y = 2x + 1 e s: y = 2x − 3. Igualando:
2x + 1 = 2x − 3
1 = −3 (falso)
Nenhuma solução: as retas são paralelas distintas.
SPI: r: 2x − y + 1 = 0 e s: 4x − 2y + 2 = 0. A segunda equação é a primeira multiplicada por 2, então todo ponto de r também está em s: infinitas soluções, e as retas são coincidentes.
Esse último caso mostra um cuidado importante: multiplicar todos os termos de uma equação por uma constante diferente de zero muda os números, mas não muda a reta.
Retas concorrentes
Duas retas não verticais são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes (m1 ≠ m2): como têm inclinações diferentes, se cruzam em um único ponto. Na forma geral ax + by + c = 0, o critério equivalente é:
Para encontrar o ponto de encontro, resolvemos o sistema. Veja mais propriedades no artigo sobre retas concorrentes.
Exemplo: o cruzamento de duas avenidas
No mapa digital de uma prefeitura, com distâncias em quilômetros, duas novas avenidas são representadas por r: y = 0,5x + 2 e s: y = −2x + 12. Como 0,5 ≠ −2, elas se cruzam:
0,5x + 2 = −2x + 12
2,5x = 10
x = 4 e y = 0,5 · 4 + 2 = 4
As avenidas se cruzam no ponto (4, 4).
Além disso, 0,5 · (−2) = −1: o cruzamento forma um ângulo reto, ou seja, as avenidas são perpendiculares.
Coeficientes "trocados" não indicam paralelismo
As retas r: 3x − 2y + 6 = 0 e s: 2x − 3y + 6 = 0 têm os números 2 e 3 em posições trocadas. Na forma reduzida, r: y = (3/2)x + 3 e s: y = (2/3)x + 2. Como 3/2 ≠ 2/3, são concorrentes, e se cruzam em (−1,2; 1,2).
Coeficientes próximos ainda indicam encontro
Se os coeficientes angulares são próximos, mas diferentes, as retas continuam concorrentes; o ponto de encontro apenas fica mais longe. Compare a reta y = x com três outras:
| Reta s | Diferença entre os coeficientes | Ponto de encontro com y = x |
|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 1 | (−1, −1) |
| y = 1,1x + 1 | 0,1 | (−10, −10) |
| y = 1,01x + 1 | 0,01 | (−100, −100) |
Um esboço perto da origem pode sugerir que essas retas "seguem lado a lado", mas a classificação depende da comparação exata dos coeficientes, não da aparência do gráfico.
Retas paralelas distintas e coincidentes
Retas com o mesmo coeficiente angular têm a mesma inclinação. Para saber se são paralelas distintas ou a mesma reta, compare também os coeficientes lineares:
- m1 = m2 e n1 ≠ n2: paralelas distintas. Exemplo: y = 2x + 3 e y = 2x − 1.
- m1 = m2 e n1 = n2: coincidentes.
Na forma geral, compare as três razões entre os coeficientes correspondentes. As retas são paralelas distintas quando:
E são coincidentes quando as três razões são iguais:
Equações diferentes, mesma reta
Para r: 2x − 4y + 6 = 0 e s: −x + 2y − 3 = 0, as razões são 2/(−1) = −2, (−4)/2 = −2 e 6/(−3) = −2. As três são iguais: s é r multiplicada por −1/2, e as retas são coincidentes, mesmo com sinais e números diferentes.
Duas razões iguais não bastam
Para r: 4x − 2y + 8 = 0 e s: 2x − y + 3 = 0, temos 4/2 = 2 e (−2)/(−1) = 2, mas 8/3 ≠ 2. As retas têm a mesma direção, mas são paralelas distintas. Para concluir que coincidem, é preciso confirmar as três razões. Os ângulos formados por paralelas cortadas por uma transversal estão no artigo sobre retas paralelas.
Quando uma das retas é vertical
Uma reta vertical tem equação x = k e não tem coeficiente angular. Para dois de seus pontos, como (5, 1) e (5, 9), a fórmula do coeficiente angular dá divisão por zero:
m = (9 − 1) ÷ (5 − 5) = 8 ÷ 0, que não está definido. Por isso, quando ao menos uma reta é vertical, os critérios com m1 e m2 não se aplicam, e usamos regras próprias:
| Situação | Classificação |
|---|---|
| Duas retas verticais com a mesma equação (x = 4 e x = 4) | Coincidentes |
| Duas retas verticais com equações diferentes (x = 3 e x = 7) | Paralelas distintas |
| Uma reta vertical e uma horizontal (x = −2 e y = 4) | Perpendiculares |
| Uma reta vertical e uma inclinada (x = 2 e y = 3x − 1) | Concorrentes, não perpendiculares |
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Para achar o ponto comum entre x = 2 e y = 3x − 1, basta substituir x = 2: y = 3 · 2 − 1 = 5, e o ponto é (2, 5). Atenção: não existe reta "quase vertical". A reta y = 1000x − 3 é muito inclinada, mas tem coeficiente angular, e cruza x = 5 no ponto (5, 4997).
Retas perpendiculares
Duas retas com coeficiente angular definido são perpendiculares quando o produto desses coeficientes é −1:
m1 · m2 = −1
Exemplo: em uma planta baixa, os eixos de duas paredes são r: y = (2/3)x e s: y = −(3/2)x + 13. Como (2/3) · (−3/2) = −1, as paredes formam um ângulo reto. Elas se encontram em:
(2/3)x = −(3/2)x + 13
(4/6)x + (9/6)x = 13
(13/6)x = 13, logo x = 6 e y = (2/3) · 6 = 4
Ponto de encontro: (6, 4).
Repare que os coeficientes de retas perpendiculares têm sinais opostos, já que o produto é negativo. Se uma das retas for vertical, não há produto a calcular: ela só é perpendicular à outra se a outra for horizontal. Por isso, x = 7 e y = 3x − 1 são concorrentes, mas não perpendiculares. Veja mais no artigo sobre retas perpendiculares.
Passo a passo para classificar duas retas
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- Verifique se alguma reta é vertical (x = k). Se for, use as regras da reta vertical.
- Escreva as retas na forma reduzida y = mx + n, ou compare as razões na forma geral.
- Compare os coeficientes angulares. Se m1 ≠ m2, as retas são concorrentes; teste se m1 · m2 = −1 para saber se são perpendiculares.
- Se m1 = m2, compare os coeficientes lineares: diferentes indicam paralelas distintas; iguais, coincidentes.
- Se precisar do ponto de encontro, resolva o sistema formado pelas duas equações.
Exercícios sobre posição relativa entre duas retas
Resolva as questões e confira o gabarito explicado de cada alternativa.
Questão 1
Um sistema de duas equações de retas não tem nenhum par (x, y) que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. O que isso informa sobre as retas?
a) São concorrentes, porque se cruzam em um único ponto.
b) São coincidentes, porque têm infinitos pontos em comum.
c) São perpendiculares, porque formam um ângulo reto.
d) Não é possível concluir nada sobre as retas.
e) São paralelas distintas, porque não têm nenhum ponto em comum.
A alternativa correta é a e: um sistema impossível corresponde a retas sem ponto comum, isto é, paralelas distintas.
A alternativa a falha porque retas concorrentes correspondem a um sistema com uma única solução. A alternativa b falha porque retas coincidentes correspondem a um sistema com infinitas soluções. A alternativa c falha porque perpendiculares se cruzam, então o sistema teria uma solução. A alternativa d falha porque o número de soluções do sistema indica diretamente a posição das retas.
Questão 2
A reta r tem coeficiente angular 4, e a reta s, coeficiente angular 4,001. O que se pode afirmar sobre r e s?
a) São paralelas distintas, porque os coeficientes são quase iguais.
b) São concorrentes, porque os coeficientes angulares são diferentes.
c) São coincidentes, porque os coeficientes são praticamente iguais.
d) São perpendiculares, porque os dois coeficientes são positivos.
e) Não é possível classificar sem desenhar o gráfico.
A alternativa correta é a b: coeficientes próximos, mas diferentes, indicam um único ponto comum, ainda que distante da origem.
A alternativa a falha porque o critério exige igualdade exata dos coeficientes angulares. A alternativa c falha porque retas coincidentes têm coeficientes angulares e lineares exatamente iguais. A alternativa d falha porque o produto 4 · 4,001 é positivo, e não −1. A alternativa e falha porque basta comparar os coeficientes, sem desenhar.
Questão 3
Na forma geral, duas retas têm os coeficientes a e b na mesma proporção. O que ainda falta verificar para decidir se são paralelas distintas ou coincidentes?
a) Se as retas são concorrentes.
b) Se o produto dos coeficientes angulares é −1.
c) Nada: as retas já são necessariamente coincidentes.
d) Se a razão entre os coeficientes c também é igual às outras duas.
e) Se o ponto de encontro tem coordenadas inteiras.
A alternativa correta é a d: com a e b proporcionais, as retas têm a mesma direção; a razão entre os c decide se coincidem ou não.
A alternativa a falha porque a e b proporcionais já excluem a possibilidade de serem concorrentes. A alternativa b falha porque esse teste serve para perpendicularidade, não para distinguir paralelas de coincidentes. A alternativa c falha porque duas razões iguais não bastam; é preciso conferir a terceira. A alternativa e falha porque retas com a mesma direção não têm um único ponto de encontro.
Questão 4
A reta r é vertical, x = 6. A reta s é y = −2x + 9. Qual é a posição relativa entre r e s?
a) Concorrentes, com ponto comum (6, −3).
b) Paralelas distintas, porque r não tem coeficiente angular.
c) Perpendiculares, porque toda reta vertical forma ângulo reto com as outras.
d) Coincidentes, porque as duas passam pelo ponto (6, −3).
e) Concorrentes, com ponto comum (6, 21).
A alternativa correta é a a: uma vertical e uma não vertical sempre se cruzam: substituindo x = 6 em s, y = −2 · 6 + 9 = −3.
A alternativa b falha porque uma reta vertical só é paralela a outra reta vertical. A alternativa c falha porque a vertical só é perpendicular a uma reta horizontal. A alternativa d falha porque ter um ponto em comum não torna duas retas a mesma reta. A alternativa e falha porque erra o sinal: −2 · 6 + 9 = −12 + 9 = −3.
Questão 5
A reta r é x = −3, e a reta s é y = 5x + 2. As retas r e s são perpendiculares?
a) Sim, porque toda reta vertical é perpendicular a qualquer reta inclinada.
b) Sim, porque o produto dos coeficientes angulares é −1.
c) Não: são concorrentes, mas só seriam perpendiculares se s fosse horizontal.
d) Não, porque são paralelas distintas.
e) Não é possível saber, porque falta o coeficiente angular de r.
A alternativa correta é a c: uma reta vertical forma ângulo reto apenas com uma horizontal; s tem coeficiente angular 5.
A alternativa a falha porque a vertical só é perpendicular a retas horizontais. A alternativa b falha porque r não tem coeficiente angular, então o produto não existe. A alternativa d falha porque uma vertical e uma não vertical sempre se cruzam. A alternativa e falha porque há regra direta para comparar uma vertical com outra reta.
Quer treinar mais? Resolva os exercícios sobre equação da reta, com gabarito resolvido.
Perguntas frequentes
Quais são as posições relativas entre duas retas?
No plano, duas retas podem ser concorrentes (um ponto comum), paralelas distintas (nenhum ponto comum) ou coincidentes (infinitos pontos comuns). As perpendiculares são concorrentes que formam ângulo reto.
Como saber se duas retas são paralelas?
Na forma reduzida, retas não verticais são paralelas distintas quando m1 = m2 e n1 ≠ n2. Duas retas verticais com equações diferentes também são paralelas.
Como saber se duas retas são concorrentes?
Quando os coeficientes angulares são diferentes (m1 ≠ m2), ou quando uma reta é vertical e a outra não.
Como saber se duas retas são perpendiculares?
Se as duas têm coeficiente angular, quando m1 · m2 = −1. Se uma é vertical, quando a outra é horizontal.
Qual a relação entre posição de retas e sistemas lineares?
Sistema possível e determinado corresponde a retas concorrentes; sistema impossível, a paralelas distintas; e sistema possível e indeterminado, a retas coincidentes.
Por que a reta vertical não tem coeficiente angular?
Porque, para dois de seus pontos, a diferença entre as abscissas é zero, e a fórmula do coeficiente angular exigiria uma divisão por zero.
Referências Bibliográficas
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 6. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 7.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no plano. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013. (Coleção do Professor de Matemática).
ASTH, Rafael. Posição relativa entre duas retas (com exercícios). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/posicao-relativa-entre-duas-retas-com-exercicios/. Acesso em:
