Exercícios sobre ângulos notáveis (com respostas explicadas)
Os ângulos notáveis são os de 30°, 45° e 60°. Eles são amplamente utilizados em diversas situações. No triângulo retângulo, com as razões trigonométricas, os utilizamos para determinar medidas desconhecidas.
Questão 1
Um arquiteto está projetando uma rampa de acesso de cargas em um edifício público. Para este projeto específico, o arquiteto optou por uma rampa com inclinação de 30° para vencer um desnível de 3 metros de altura.
Considerando que sen 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,87 e tg 30° ≈ 0,58, qual será o comprimento horizontal que essa rampa ocupará?
A) 1,74 m
B) 2,61 m
C) 5,17 m
D) 6,00 m
E) 3,46 m
Temos um triângulo retângulo onde:
- Altura (cateto oposto) = 3 m
- Ângulo de inclinação = 30°
Vamos encontrar o comprimento horizontal (cateto adjacente) ao ângulo de 30°.
Devemos escolher a relação trigonométrica adequada. Como não há informação sobre a hipotenusa, utilizamos a tangente.
Substituindo os valores:
Questão 2
Em projetos de engenharia civil e telecomunicações, é fundamental conhecer a altura de estruturas como torres e edifícios. O método mais comum para medições indiretas de altura envolve a trigonometria, utilizando o ângulo de elevação e uma distância conhecida.
Um técnico de manutenção precisa determinar a altura H de uma torre de transmissão. Para isso, ele utiliza um teodolito (instrumento para medir ângulos) e realiza duas medições em um terreno plano e horizontal, alinhado com a base da torre.
- A partir de um ponto A no solo, ele mede um ângulo de elevação de 60º até o topo da torre.
- Em seguida, ele se afasta 10 metros em linha reta, chegando ao ponto B. Do B, o ângulo de elevação para o topo da torre é de 30º.
Assumindo que a altura do teodolito é desprezível e que os pontos de medição e a base da torre estão no mesmo plano horizontal, qual é a altura H da torre, em metros?
A) 
m
B) 
m
C) 
m
D) 
m
E) 
m
O problema pode ser modelado usando dois triângulos retângulos formados pela altura da torre H, a distância da base da torre aos pontos de medição e a linha de visada (hipotenusa).
Seja x a distância entre o ponto A e a base da torre. A distância entre o ponto B e a base da torre será x + 10.
Passo 1: Montar as equações trigonométricas.
Usamos a função tangente, que relaciona a altura (cateto oposto) com a distância horizontal (cateto adjacente) em cada triângulo:
Triângulo 1 (Ponto A com ângulo de 60º):
Triângulo 2 (Ponto B com ângulo de 30º):
Passo 2: Resolver o sistema de equações.
Igualando a Expressão (I) e a Expressão (II), pois ambas representam a altura H:
Resolvendo para x:
Passo 3: Encontrar a altura H.
Substituímos o valor de x em uma das equações.
Questão 3
Uma empresa de energia renovável está instalando painéis solares no telhado de uma residência. Para maximizar a captação de energia solar em uma determinada região do Brasil, os painéis devem formar um ângulo de 45° com a horizontal.
Se cada painel tem 2 metros de comprimento e será apoiado por uma estrutura metálica, qual deverá ser a altura aproximada do suporte na extremidade mais elevada do painel?
Considere sen 45° = cos 45° ≈ 0,71 e tg 45° = 1.
A) 0,71 m
B) 1,00 m
C) 1,42 m
D) 1,73 m
E) 2,00 m
Temos um triângulo retângulo onde:
- Hipotenusa (comprimento do painel) = 2 m
- Ângulo = 45°
Queremos encontrar: altura (cateto oposto)
Escolher a relação trigonométrica:
Substituir os valores:
Questão 4
Um engenheiro de trânsito está projetando a sinalização para uma via que possui uma inclinação constante de 30°. Um caminhão percorre 200 metros ao longo dessa via inclinada.
Considerando sen 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,87 e tg 30° ≈ 0,58, qual foi a variação de altura que o caminhão subiu durante esse percurso?
A) 58 m
B) 100 m
C) 116 m
D) 174 m
E) 200 m
Temos um triângulo retângulo onde:
- Hipotenusa (distância percorrida na rampa) = 200 m
- Ângulo de inclinação = 30°
Queremos encontrar: variação de altura (cateto oposto).
Escolher a relação trigonométrica:
Questão 5
Um prédio comercial necessita instalar uma escada de emergência externa. Por questões de segurança e conforto, o projetista determinou que a escada deve formar um ângulo de 60° com o solo. Se a escada precisa alcançar uma janela localizada a 15 metros de altura, qual será a distância horizontal entre a base da escada e a parede do prédio?
Use sen 60° ≈ 0,87, cos 60° = 0,5 e tg 60° ≈ 1,73.
A) 5,20 m
B) 7,50 m
C) 8,67 m
D) 10,40 m
E) 12,99 m
Temos um triângulo retângulo onde:
- Altura (cateto oposto) = 15 m
- Ângulo = 60°
Queremos encontrar: distância horizontal (cateto adjacente) ao ângulo que a escada faz com o chão (60º).
Como o cálculo não envolve a hipotenusa, a razão trigonométrica é a tangente.
Questão 6
Uma prefeitura está construindo uma cobertura para uma quadra poliesportiva. O projeto prevê uma estrutura metálica em forma de tesoura, onde as vigas principais formam um ângulo de 60° entre si. Se cada lado do telhado tem 12 metros de comprimento e parte da extremidade da quadra, qual será a altura máxima atingida pela cobertura no ponto central onde os lados se encontram?
Considere:
A) 
m
B) 
m
C) 6 m
D) 
m
E) 
m
Passo 1: Ilustrar a situação.
A imagem acima (fora de escala), é um esboço da situação do problema.
Devemos determinar o valor da altura x.
A altura x determina dois triângulos retângulos com ângulos de abertura do telado de 30°.
Passo 2: Escolher a razão trigonométrica.
Como temos a medida do telhado de 12 m (hipotenusa) e determinaremos x (cateto adjacente ao ângulo de 30°), utilizamos o cosseno.
Passo 3: Realizar o cálculo.
Assim, a altura na parte central é de 
Questão 7
Um drone de entrega precisa voar de um ponto A, no solo, até um ponto B no topo de um prédio de 12 metros de altura. Para economizar bateria, o drone sobe com um ângulo constante de 60° em relação à horizontal. Durante a subida, o drone desloca-se horizontalmente até ficar exatamente acima do ponto B.
Considerando que o voo é retilíneo, qual é a distância total percorrida pelo drone e a distância horizontal que ele percorre?
Considere:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Passo 1: Interpretação da situação.
A trajetória do drone é um triângulo retângulo com ângulo de subida de 60°.
A distância de voo é a medida da hipotenusa e a horizontal é o cateto adjacente.
Passo 2: Cálculo da trajetória.
Temos como informação a altura de 12 metros e o ângulo de 60°.
A razão que relaciona o cateto oposto (altura) e a hipotenusa (trajeto percorrido) é o seno.
Racionalizando:
Passo 3: Cálculo da distância horizontal.
A razão que relaciona a distância horizontal (cateto adjacente ao ângulo de 60°) e a altura é a tangente.
Racionalizando:
Conclusão:
A distância percorrida pelo drone é de 
e a distância horizontal é de 
metros.
Veja mais em:
- Ângulos notáveis: tabela, exemplos e exercícios
- Razões Trigonométricas
- Ângulos: definição, tipos, como medir e exercícios
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Seno, Cosseno e Tangente: como calcular
ASTH, Rafael. Exercícios sobre ângulos notáveis (com respostas explicadas). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-angulos-notaveis/. Acesso em:
