Exercícios sobre a lei dos cossenos (com respostas explicadas)
Dominar a Lei dos Cossenos é um diferencial estratégico para candidatos de alto rendimento.
Muito além de uma simples generalização do Teorema de Pitágoras, ela é a ferramenta fundamental para a resolução de triângulos quaisquer, sendo cobrada de forma implacável em provas de vestibulares, ENEM, EsPCEx, AFA, Escola Naval, IME e ITA.
Nessas bancas, o conteúdo raramente aparece isolado: ele é combinado com identidades trigonométricas, progressões e contextos de física e navegação, exigindo raciocínio algébrico aguçado.
Teste agora o seu domínio resolvendo nossa lista de questões inéditas abaixo!
Questão 1
Em um triângulo 
, os lados opostos aos ângulos 
, 
e 
medem, respectivamente, 
, 
e 
. O valor de 
é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
Aplicando diretamente a Lei dos Cossenos temos:
Questão 2
Em um triângulo , os lados 
e 
medem 
e 
, respectivamente. A mediana relativa ao lado 
mede 
. A medida do lado , em 
, é:
a) 17 cm
b) 16 cm
c) 15 cm
d) 14 cm
Observe a figura abaixo:
Aplicando a Lei dos Cossenos no 
temos:
Aplicando a Lei dos Cossenos no 
temos:
Somando (I) e (II) obtemos:
Portanto, o lado 
.
Questão 3
Considere um quadrilátero 
inscrito em uma circunferência cujos lados medem 
, 
, 
e 
. A medida da diagonal , em unidades de comprimento, é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
Observe a figura abaixo:
Quando o quadrilátero é inscritível na circunferência os ângulos opostos são sempre suplementares, pois são ângulos inscritos na circunferencia formados a partir de dois arcos que somam 360°.
Dessa forma conseguimos determinar a diagonal AC aplicando duas Leis dos Cossenos uma no triângulo ABC e outra no triângulo ACD.
Agora basta resolver o sistema formado por (I) e (II).
Questão 4
Em um triângulo , a bissetriz interna do ângulo 
intercepta o lado no ponto 
. Sabendo que 
, 
e 
, o comprimento do segmento 
, em , é:
a) 
b) 
c) 
d) 
Observe a figura abaixo que representa os dados do enunciado.
Pelo Teorema das Bissetrizes Internas temos:
Agora podemos aplicar a Lei dos Cossenos nos triângulos ADB e ADC.
Multiplicando a primeira equação por 16/9 e subtraindo a segunda teremos:
Questão 5
Dois navios, Alfa e Bravo, partem simultaneamente de um porto P. O navio Alfa navega a uma velocidade constante de 30 nós, e o navio Bravo navega a uma velocidade constante de 35 nós. Após exatamente 2 horas de navegação, sabe-se que o seno do ângulo 
formado entre as trajetórias dos dois navios é 
. Considerando que é um ângulo agudo, a distância em linha reta entre os dois navios, em milhas náuticas, é:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
Após 2 horas temos:
Navio Alfa
Navio Bravo
Assim obtemos o seguinte triângulo:
Para obter 
precisamos do 
, que podemos obter a partir da Relação Fundamental da Trigonometria.
Aplicamos agora a Lei dos Cossenos.
Questão 6
Um engenheiro civil está realizando o levantamento topográfico para a construção de uma grande ponte estaiada.
Para determinar o comprimento do vão principal (a distância em linha reta entre as duas torres de sustentação, B e C), ele marca um ponto de referência A na margem.
As medições indicam que a distância de A até a torre B é de 8 km, a distância de A até a torre C é de 15 km, e o ângulo entre essas duas linhas de visada 
.
O comprimento do vão principal BC, em km, é:
a) 7
b) 13
c) 17
d) 23
No triângulo ABC temos AB=8, AC=15 e queremos calclular a distância BC, sabendo que o ângulo em A mede 60°.
Aplicando diretamente a Lei dos Cossenos temos:
Questão 7
Um braço robótico industrial é composto por dois segmentos rígidos, OA e AB, articulados em A. O segmento OA tem comprimento fixo de 2 metros e está preso à base O.
O segmento AB tem comprimento de 1,5 metros. Em um determinado instante, o ângulo 
formado entre os dois segmentos é de 120°.
A distância direta da base O até a extremidade B da garra robótica, nesse instante, em metros, é:
a) 
b) 
c) 
d) 
Aplicando diretamente a Lei dos Cossenos teremos:
Questão 8
Um terreno triangular possui lados cujas medidas, em metros, formam uma progressão aritmética de razão 2. O maior ângulo interno desse terreno é exatamente o dobro do menor ângulo. A área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
Observe o esboço do triângulo abaixo:
Aplicando a Lei dos Cossenos em relação ao ângulo .
Aplicando a Lei dos Cossenos em relação ao ângulo 
.
Por outro lado,
Desenvolvendo temos:
Somando os coeficientes podemos ver que 
é raiz, mas não forma triângulo.
Então aplicamos o Algoritmo de Briot-Ruffini para obter as demais raízes.
Temos agora a seguinte equação 
Portanto, os lados do nosso triângulo são 8, 10 e 12.
Pelo Radical de Heron temos:
Saiba mais em Lei dos Cossenos: aplicação, exemplos e exercícios.
Referências Bibliográficas
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini: 2º ano. São Paulo: Moderna, 2020.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 4. ed. São Paulo: Ática, 2018. v. único.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 9.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Trigonometria. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 3.
CANELLAS, William. Exercícios sobre a lei dos cossenos (com respostas explicadas). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-lei-dos-cossenos/. Acesso em:
