Exercícios sobre valor máximo e mínimo na função quadrática (com gabarito)
Pratique questões sobre o valor máximo ou mínimo de funções do 2º grau.
Questão 1
Determine as coordenadas do vértice da função quadrática f(x) = -2x² + 8x - 3.
a) V(2, 5)
b) V(-2, -27)
c) V(2, -3)
d) V(4, -3)
e) V(2, 13)
Como o coeficiente a é negativo (a = -2), a parábola tem concavidade voltada para baixo, o que significa que este vértice representa o ponto máximo da função.
Para determinar as coordenadas do vértice de uma função quadrática da forma 
, utilizamos as fórmulas para o x do vértice (
) e o y do vértice (
).
Dada a função 
, identificamos os coeficientes:
1. Calculando o x do vértice ()
A fórmula é 
.
2. Calculando o y do vértice ().
Existem dois caminhos: substituir na função original ou usar a fórmula de 
. Substituir o valor costuma ser mais rápido:
Resultado
As coordenadas do vértice V são: 
.
Questão 2
Determine as coordenadas do vértice da função quadrática g(x) = x² - 6x + 5.
a) V(-3, -4)
b) V(3, -4)
c) V(3, 5)
d) V(6, 5)
e) V(-3, 32)
Como o coeficiente a é positivo (a = 1), a parábola tem concavidade voltada para cima, o que significa que este vértice representa o ponto mínimo da função.
Identificando os coeficientes:
- a = 1
- b = -6
- c = 5
1. Calculando o x do vértice ()
Usando a fórmula :
2. Calculando o y do vértice ()
Substituímos o valor de na função 
:
Resultado
As coordenadas do vértice são: 
.
Questão 3
Analise as afirmações sobre funções quadráticas e identifique a alternativa correta:
I. Toda função quadrática com coeficiente a ＞ 0 possui valor mínimo.
II. O valor máximo ou mínimo de uma função quadrática ocorre no vértice da parábola.
III. Uma função quadrática com a ＜ 0 possui valor mínimo no vértice.
IV. A coordenada yᵥ do vértice representa o valor máximo ou mínimo da função.
a) Apenas I e II são verdadeiras.
b) Apenas II e III são verdadeiras.
c) Apenas I, II e IV são verdadeiras.
d) Apenas III e IV são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
Analisando as afirmações sobre funções quadráticas, podemos verificar quais são verdadeiras com base nas propriedades da parábola:
As afirmações corretas são a I, II e IV.
Análise das Afirmações
I. Toda função quadrática com coeficiente a ＞ 0 possui valor mínimo. (Verdadeira)
Quando o coeficiente a é positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima. Logo, o vértice é o ponto mais baixo da curva, representando um valor mínimo.
II. O valor máximo ou mínimo de uma função quadrática ocorre no vértice da parábola. (Verdadeira)
O vértice é o ponto de inflexão da função. É nele que a parábola atinge seu ponto extremo antes de mudar de direção (de decrescente para crescente ou vice-versa).
III. Uma função quadrática com a ＜ 0 possui valor mínimo no vértice. (Falsa)
Quando a ＜ 0, a concavidade é voltada para baixo (
). Nesse caso, o vértice é o ponto mais alto da curva, representando, portanto, um valor máximo, e não mínimo.
IV. A coordenada do vértice representa o valor máximo ou mínimo da função. (Verdadeira)
Enquanto o indica onde o valor extremo ocorre, o é o valor em si (a imagem da função naquele ponto).
Questão 4
Um fazendeiro possui 120 metros de tela para construir um cercado retangular para suas galinhas, aproveitando um muro reto já existente como um dos lados do retângulo. Chamando de x a medida de cada um dos dois lados perpendiculares ao muro, a área cercada em função de x é dada por A(x) = -2x² + 120x. Qual é a área máxima que pode ser cercada?
a) 1.200 m²
b) 1.500 m²
c) 1.800 m²
d) 2.000 m²
e) 3.600 m²
Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor máximo da função quadrática:
O valor máximo de uma função ocorre no seu vértice. O enunciado pede a área máxima.
1. Identificar os coeficientes.
Na função , temos:
2. Encontrar a medida do lado ().
Primeiro, descobrimos qual deve ser a medida dos lados perpendiculares ao muro para a área ser máxima:
3. Calcular a Área Máxima ()
Agora, substituímos o valor de x na função da área:
A área máxima que o fazendeiro pode cercar é de 1800 m².
Questão 5
Uma loja vende, em média, 200 camisetas por mês ao preço unitário de R$ 40,00. O dono percebeu que, a cada redução de R$ 2,00 no preço, as vendas aumentam em 20 camisetas. A receita mensal R em função do número n de reduções de R$ 2,00 é dada por R(n) = -40n² + 400n + 8000. Qual é a receita máxima que a loja pode obter?
a) R$ 8.000,00
b) R$ 9.000,00
c) R$ 9.500,00
d) R$ 10.000,00
e) R$ 11.000,00
Para encontrar a receita máxima, precisamos determinar o valor de y do vértice () da função quadrática fornecida:
Nesta função:
a = -40
b = 400
c = 8000
Passo 1: Encontrar o número de reduções ideal (
)
Primeiro, calculamos quantas reduções de R$ 2,00 são necessárias para atingir o pico da receita usando a fórmula do x do vértice:
Isso significa que o dono da loja deve reduzir o preço 5 vezes (ou seja, um desconto total de 5 . 2 = 10,00).
Passo 2: Calcular a Receita Máxima (
)
Agora, substituímos n = 5 na função original para encontrar o valor da receita:
A receita máxima que a loja pode obter é de R$ 9.000,00.
Questão 6
Um projétil é lançado verticalmente para cima e sua altura h (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dada por h(t) = -5t² + 30t + 10. Qual é a altura máxima atingida pelo projétil?
a) 35 m
b) 40 m
c) 45 m
d) 50 m
e) 55 m
Dados do problema:
Função da altura: h(t) = -5t² + 30t + 10
- t = tempo em segundos
- h = altura em metros
Encontrando a altura máxima:
Como h(t) = -5t² + 30t + 10 é uma função quadrática com a = -5 ＜ 0, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo no vértice.
1. Calculando o tempo para a altura máxima (
).
Primeiro, descobrimos em que instante o projétil atinge o ponto mais alto:
2. Calculando a Altura Máxima (
)
Agora, substituímos o tempo de 3 segundos na função da altura:
A altura máxima atingida pelo projétil é de 55 metros.
Questão 7
Uma empresa produz peças de artesanato e verificou que o lucro L (em reais) obtido com a venda de x peças por dia é dado por L(x) = -x² + 80x - 600. Para maximizar o lucro, quantas peças a empresa deve produzir e vender diariamente, e qual será esse lucro máximo?
a) 40 peças e lucro de R$ 1.000,00
b) 30 peças e lucro de R$ 1.200,00
c) 40 peças e lucro de R$ 1.400,00
d) 50 peças e lucro de R$ 1.400,00
e) 80 peças e lucro de R$ 600,00
Dados do problema:
Função do lucro: L(x) = -x² + 80x - 600
x = número de peças produzidas e vendidas por dia
L = lucro em reais
Encontrando o número de peças para lucro máximo:
Como L(x) = -x² + 80x - 600 é uma função quadrática com a = -1 ＜ 0, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo no vértice.
Quantidade de peças para o lucro máximo ()
A quantidade de peças que maximiza o lucro é dada pelo x do vértice. Ele nos diz "onde" o ponto mais alto da curva acontece.
Portanto, a empresa deve produzir e vender 40 peças por dia para atingir o lucro máximo.
2. Valor do lucro máximo (
)
O lucro máximo é a coordenada y do vértice. Para encontrá-lo, substituímos o valor de x que acabamos de encontrar na função original:
Resumo do Resultado
Quantidade ideal: 40 peças por dia.
Lucro máximo: R$ 1.000,00.
Questão 8
Um engenheiro precisa projetar uma janela com formato retangular encimada por um semicírculo. O perímetro total disponível para a janela é de 12 metros. Considerando que a base do retângulo mede 2x metros, a área total A da janela em função de x é dada por 
. Sabendo que π ≈ 3, para qual valor de x (aproximadamente) a área da janela será máxima?
a) 1,2 m
b) 1,5 m
c) 1,7 m
d) 2,0 m
e) 2,4 m
1. Simplificando a função com 
.
Primeiro, vamos substituir o valor de 
para facilitar os cálculos e identificar os coeficientes a e b:
Agora, identificamos os coeficientes:
a = -3,5
b = 12
2. Calculando o valor de x para a área máxima ()
Usamos a fórmula do x do vértice:
Para que a área da janela seja máxima, o valor de x deve ser aproximadamente 1,71 metros.
Pratique mais:
- Exercícios sobre as coordenadas do vértice da parábola
- Exercícios de Função Quadrática
- Exercícios sobre Equação do 2º Grau
Aprenda mais com:
ASTH, Rafael. Exercícios sobre valor máximo e mínimo na função quadrática (com gabarito). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-valor-maximo-e-minimo-na-funcao-quadratica-com-gabarito/. Acesso em:
