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Exercícios sobre simplificação de radicais

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
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Confira uma lista de questões para você praticar os cálculos de simplificação de radicais. Não deixe de conferir os comentários nas resoluções para tirar as suas dúvidas.

Questão 1

O radical raiz quadrada de 27 possui uma raiz não exata e, por isso, a sua forma simplificada é:

a) raiz quadrada de 3

b) 2 raiz quadrada de 3

c) 3 raiz quadrada de 3

d) 3 raiz quadrada de 2

Resposta correta: c) 3 raiz quadrada de 3.

Quando fatoramos um número podemos reescrevê-lo em forma de potência de acordo com os fatores que se repetem. Para 27, temos:

tabela linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela

Portanto, 27 = 3.3.3 = 33

Esse resultado ainda pode ser escrito como uma multiplicação de potências: 32.3, já que 31=3.

Sendo assim, raiz quadrada de 27 pode ser escrito como raiz quadrada de 3 ao quadrado.3 fim da raiz

Observe que dentro da raiz há um termo com expoente igual ao índice do radical (2). Desta forma, podemos fazer a simplificação retirando a base deste expoente de dentro da raiz.

3 raiz quadrada de 3

Chegamos a resposta dessa questão: a forma simplificada de raiz quadrada de 27 é 3 raiz quadrada de 3.

Questão 2

Se reto n enésima raiz de reto a sobre reto b fim da raiz espaço igual a espaço numerador reto n enésima raiz de reto a sobre denominador reto n enésima raiz de reto b fim da fraçãoentão ao simplificar raiz quadrada de 32 sobre 27 fim da raiz qual o resultado?

a) numerador 4 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 raiz quadrada de 2 fim da fração

b) numerador 4 raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 3 fim da fração

c) numerador 4 raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

d) numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 3 fim da fração

Resposta correta: b) numerador 4 raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 3 fim da fração.

De acordo com a propriedade apresentada no enunciado da questão, temos que raiz quadrada de 32 sobre 27 fim da raiz igual a numerador raiz quadrada de 32 sobre denominador raiz quadrada de 27 fim da fração.

Para simplificar esta fração, o primeiro passo é fatorar os radicandos 32 e 27.

tabela linha com 32 linha com 16 linha com 8 linha com 4 linha com 2 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com blank fim da tabela tabela linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela

De acordo com os fatores encontrados, podemos reescrever os números através de potências.

32 espaço igual a espaço 2.2.2.2.2 espaço espaço 32 espaço igual a espaço 2 à potência de 5 espaço igual a espaço 2 ao quadrado.2 ao quadrado.2

27 espaço igual a espaço 3.3.3 espaço espaço 27 espaço igual a espaço 3 ao cubo espaço igual a espaço 3 ao quadrado.3

Portanto, a fração dada corresponde a numerador raiz quadrada de 32 sobre denominador raiz quadrada de 27 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.2 fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 3 ao quadrado.3 fim da raiz fim da fração

Vemos que dentro das raízes existem termos com expoente igual ao índice do radical (2). Desta forma, podemos fazer a simplificação retirando a base deste expoente de dentro da raiz.

numerador 2.2 raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 3 fim da fração

Chegamos a resposta dessa questão: a forma simplificada de raiz quadrada de 32 sobre 27 fim da raiz é numerador 4 raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 3 fim da fração.

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Questão 3

2 raiz quadrada de 2 é a forma simplificada de qual radical abaixo?

a) raiz quadrada de 16

b) raiz quadrada de 8

c) raiz quadrada de 4

d) raiz quadrada de 12

Resposta correta: b) raiz quadrada de 8

Podemos adicionar um fator externo dentro da raiz desde que o expoente do fator adicionado seja igual ao índice do radical.

reto x espaço reto n enésima raiz de reto y espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto y espaço. espaço reto x à potência de reto n fim da raiz

Substituindo os termos e resolvendo a equação, temos:

2 espaço quadrada raiz de 2 espaço igual a espaço quadrada raiz de 2 espaço. espaço 2 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço quadrada raiz de 2. espaço 4 fim da raiz espaço igual a espaço quadrada raiz de 8 espaço

Confira outra maneira de interpretar e resolver esta questão:

O número 8 pode ser escrito na forma da potência 23, pois 2 x 2 x 2 = 8

Substituindo o radicando 8 pela potência 23, temos raiz quadrada de 2 ao cubo fim da raiz.

A potência 23, pode ser reescrita como uma multiplicação de bases iguais 22. 2 e, sendo assim, o radical será raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 fim da raiz.

Observe que o expoente é igual ao índice (2) do radical. Quando isso acontece devemos retirar a base de dentro do radicando.

2 raiz quadrada de 2

Portanto 2 raiz quadrada de 2é a forma simplificada de raiz quadrada de 8.

Questão 4

Utilizando o método da fatoração, identifique qual a forma simplificada de cúbica raiz de 108.

a) 2 espaço cúbica raiz de 4

b) 4 espaço cúbica raiz de 3

c) 3 espaço cúbica raiz de 4

d) cúbica raiz de 4

Resposta correta: c) 3 espaço cúbica raiz de 4.

Fatorando o radicando 108, temos:

tabela linha com 108 linha com 54 linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela

Portanto, 108 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 22.33 e o radical pode ser escrito como cúbica raiz de 2 ao quadrado.3 ao cubo fim da raiz.

Observe que no radicando temos um expoente igual ao índice (3) do radical. Sendo assim, podemos retirar a base deste expoente de dentro da raiz.

3 índice radical espaço 3 de 2 ao quadrado fim da raiz

A potência 22 corresponde ao número 4 e, por isso, a resposta correta é 3 espaço cúbica raiz de 4.

Questão 5

Se raiz quadrada de 12 é o dobro de raiz quadrada de 3, então raiz quadrada de 24 é o dobro de:

a) raiz quadrada de 4

b) raiz quadrada de 3

c) raiz quadrada de 6

d) raiz quadrada de 6

Resposta correta: d) 2 raiz quadrada de 6.

De acordo com o enunciado raiz quadrada de 12 é o dobro de raiz quadrada de 3, portanto raiz quadrada de 12 espaço igual a espaço 2 raiz quadrada de 3.

Para saber qual o resultado que multiplicado duas vezes corresponde a raiz quadrada de 24, devemos primeiramente fatorar o radicando.

tabela linha com 24 linha com 12 linha com 6 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com blank fim da tabela

Portanto, 24 = 2.2.2.3 = 23.3, que também pode ser escrito como 22.2.3 e, por isso, o radical é raiz quadrada de 2 ao quadrado.2.3 fim da raiz.

No radicando temos um expoente igual ao índice (2) do radical. Sendo assim, podemos retirar a base deste expoente de dentro da raiz.

2 raiz quadrada de 2.3 fim da raiz

Multiplicando os números dentro da raiz, chegamos a resposta correta, que é raiz quadrada de 6.

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Questão 6

Simplifique os radicais raiz quadrada de 45, raiz quadrada de 80 e raiz quadrada de 180 de forma que as três expressões apresentem o mesmo radicando. A resposta correta é:

a) 3 raiz quadrada de 5 vírgula espaço 4 raiz quadrada de 5 espaço reto e espaço 6 raiz quadrada de 5

b) 5 raiz quadrada de 3 vírgula espaço 5 raiz quadrada de 4 espaço reto e espaço 5 raiz quadrada de 6

c) quinta raiz de 3 vírgula espaço quinta raiz de 4 espaço reto e espaço quinta raiz de 6

d) índice radical espaço em branco de 3 à potência de 5 fim da raiz vírgula espaço raiz quadrada de 4 à potência de 5 espaço fim da raiz espaço reto e espaço raiz quadrada de 6 à potência de 5 fim da raiz

Resposta correta: a) 3 raiz quadrada de 5 vírgula espaço 4 raiz quadrada de 5 espaço reto e espaço 6 raiz quadrada de 5

Primeiramente, devemos fatorar os números 45, 80 e 180.

tabela linha com 45 linha com 15 linha com 5 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela tabela linha com 80 linha com 40 linha com 20 linha com 10 linha com 5 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 5 linha com blank fim da tabela tabela linha com 180 linha com 90 linha com 45 linha com 15 linha com 5 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com 5 linha com blank fim da tabela

De acordo com os fatores encontrados, podemos reescrever os números através de potências.

45 = 3.3.5

45 = 32 . 5

80 = 2.2.2.2.5

80 = 22 . 22. 5

180 = 2.2.3.3.5

180 = 22 . 32. 5

Os radicais apresentados no enunciado são:

raiz quadrada de 45 espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 ao quadrado.5 fim da raiz raiz quadrada de 80 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.5 fim da raiz raiz quadrada de 180 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.3 ao quadrado.5 fim da raiz

Vemos que dentro das raízes existem termos com expoente igual ao índice do radical (2). Desta forma, podemos fazer a simplificação retirando a base deste expoente de dentro da raiz.

raiz quadrada de 45 espaço igual a espaço 3 raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 80 espaço igual a espaço 2.2 raiz quadrada de 5 espaço igual a espaço 4 raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 180 espaço igual a espaço 2.3 raiz quadrada de 5 espaço igual a espaço 6 raiz quadrada de 5

Portanto, 5 é o radicando comum aos três radicais após realizar a simplificação.

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Questão 7

Simplifique os valores da base e da altura do retângulo. Em seguida, calcule qual o perímetro da figura.

tabela linha com blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank blank fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura tabela linha com blank linha com blank linha com célula com raiz quadrada de 150 fim da célula linha com blank linha com blank fim da tabela tabela linha com blank blank blank blank blank célula com raiz quadrada de 54 fim da célula blank blank blank blank blank blank fim da tabela

a) 8 raiz quadrada de 3

b) 6 raiz quadrada de 4

c) 32 raiz quadrada de 3

d) 16 raiz quadrada de 6

Resposta correta: d) 16 raiz quadrada de 6.

Primeiramente, vamos fatorar os valores das medidas da figura.

tabela linha com 54 linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela tabela linha com 150 linha com 75 linha com 25 linha com 5 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 3 linha com 5 linha com 5 linha com blank fim da tabela

De acordo com os fatores encontrados, podemos reescrever os números através de potências.

54 espaço igual a espaço 3 ao quadrado.3.2 150 igual a espaço 5 ao quadrado.3.2

Vemos que dentro das raízes existem termos com expoente igual ao índice do radical (2). Desta forma, podemos fazer a simplificação retirando a base deste expoente de dentro da raiz.

raiz quadrada de 54 espaço igual a raiz quadrada de 3 ao quadrado.3.2 fim da raiz raiz quadrada de 54 espaço igual a 3 raiz quadrada de 3.2 fim da raiz raiz quadrada de 54 espaço igual a 3 raiz quadrada de 6 raiz quadrada de 150 espaço igual a raiz quadrada de 5 ao quadrado.3.2 fim da raiz raiz quadrada de 150 espaço igual a 5 raiz quadrada de 3.2 fim da raiz raiz quadrada de 150 espaço igual a 5 raiz quadrada de 6

O perímetro do retângulo pode ser calculado através da seguinte fórmula:

reto P espaço igual a espaço reto b espaço mais espaço reto b mais espaço reto h espaço mais reto h reto P espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 6 espaço mais espaço 5 raiz quadrada de 6 espaço mais espaço 3 raiz quadrada de 6 espaço mais espaço 3 raiz quadrada de 6 espaço reto P espaço igual a espaço parêntese esquerdo 5 espaço mais espaço 5 espaço mais espaço 3 espaço mais espaço 3 parêntese direito raiz quadrada de 6 reto P espaço igual a espaço 16 raiz quadrada de 6

Questão 8

Na soma dos radicais raiz quadrada de 12 e raiz quadrada de 48, qual a forma simplificada do resultado?

a) 2 raiz quadrada de 3

b) 3 raiz quadrada de 3

c) 6 raiz quadrada de 3

d) 8 raiz quadrada de 3

Resposta correta: c) 6 raiz quadrada de 3.

Primeiramente, devemos fatorar os radicandos.

tabela linha com 12 linha com 6 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com blank fim da tabela tabela linha com 48 linha com 24 linha com 12 linha com 6 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com blank fim da tabela

Reescrevemos os radicandos na forma de potência, temos:

12 = 22 . 3 48 = 22 . 22 . 3

Agora, resolvemos a soma e encontramos o resultado.

raiz quadrada de 12 espaço mais espaço raiz quadrada de 48 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.3 fim da raiz espaço mais espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 fim da raiz espaço raiz quadrada de 12 espaço mais espaço raiz quadrada de 48 espaço igual a 2 raiz quadrada de 3 espaço mais espaço 2.2 raiz quadrada de 3 raiz quadrada de 12 espaço mais espaço raiz quadrada de 48 espaço igual a 2 raiz quadrada de 3 espaço mais espaço 4 raiz quadrada de 3 raiz quadrada de 12 espaço mais espaço raiz quadrada de 48 espaço igual a parêntese esquerdo 2 mais 4 parêntese direito raiz quadrada de 3 raiz quadrada de 12 espaço mais espaço raiz quadrada de 48 espaço igual a 6 raiz quadrada de 3

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Questão 9

Simplifique o radical.

quadrada raiz de cúbica raiz de quarta raiz de 2 à potência de 24 fim da raiz fim da raiz fim da raiz

Resposta correta: 2

Para simplificar radicandos dentro de radicandos, podemos multiplicar seus índices.

índice radical 2 espaço sinal de multiplicação 3 sinal de multiplicação 4 de 2 à potência de 24 fim da raiz espaço igual a índice radical 24 de 2 à potência de 24 fim da raiz

Uma vez que o índice e o expoente do radicando seus iguais é possível cancelá-los, resultando em 2.

índice radical 24 de 2 à potência de 24 fim da raiz igual a 2 à potência de 24 sobre 24 fim do exponencial igual a 2 à potência de 1 igual a 2

Questão 10

(FUVEST) Efetue a expressão cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 mais espaço 2 à potência de 30 sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz.

Resposta correta:

A potência 2 à potência de 30 no denominador do radicando pode escrito como 2 à potência de 28.2 ao quadrado

cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 mais espaço 2 à potência de 28.2 ao quadrado sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz

Colocando o 2 à potência de 28 em evidência e simplificando a fração:

cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 parêntese esquerdo 1 mais 2 ao quadrado parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz igual a cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 parêntese esquerdo 1 mais 4 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz igual a cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 espaço. espaço 5 sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz igual a cúbica raiz de numerador 2 à potência de 28 espaço. espaço 5 sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz igual a cúbica raiz de 2 à potência de 28 sobre 2 fim da raiz

No radicando, temos uma divisão de potências de mesma base. Devemos subtrair seus expoentes e simplificar os radicais.

cúbica raiz de 2 à potência de 28 menos 1 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de 2 à potência de 27 fim da raiz espaço igual a 2 à potência de 27 sobre 3 fim do exponencial igual a 2 à potência de 9 espaço igual a espaço 512

Para adquirir mais conhecimento, não deixe de ler os textos a seguir:

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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